最长回文子串

之前注册过hihoCoder，现在看到推出编程字符串专题，有这个题目，自己写一下。

回文是指正着读和倒着读，结果一些样，比如abcba或abba。

题目是要在一个字符串中要到最长的回文子串。

1、暴力法

最容易想到的就是暴力破解，求出每一个子串，之后判断是不是回文，找到最长的那个。

求每一个子串时间复杂度O(N^2)，判断子串是不是回文O(N)，两者是相乘关系，所以时间复杂度为O(N^3)。

string findLongestPalindrome(string &s)
{
	int length=s.size();//字符串长度
	int maxlength=0;//最长回文字符串长度
	int start;//最长回文字符串起始地址
	for(int i=0;i=tmp2&&j-i>maxlength)
			{
				maxlength=j-i+1;
				start=i;
			}
		}
		if(maxlength>0)
			return s.substr(start,maxlength);//求子串
		return NULL;
}

2、动态规划

回文字符串的子串也是回文，比如P[i,j]（表示以i开始以j结束的子串）是回文字符串，那么P[i+1,j-1]也是回文字符串。这样最长回文子串就能分解成一系列子问题了。这样需要额外的空间O（N^2)，算法复杂度也是O(N^2)。

首先定义状态方程和转移方程：

P[i,j]=0表示子串[i,j]不是回文串。P[i,j]=1表示子串[i,j]是回文串。

P[i,i]=1

        

P[i,j]｛=P[i+1,j-1],if(s[i]==s[j])

   =0 ,if(s[i]!=s[j])

string findLongestPalindrome(string &s)
{
	const int length=s.size();
	int maxlength=0;
	int start;
	bool P[50][50]={false};
	for(int i=0;i=2)
		return s.substr(start,maxlength);
	return NULL;
}

3、中心扩展

中心扩展就是把给定的字符串的每一个字母当做中心，向两边扩展，这样来找最长的子回文串。算法复杂度为O(N^2)。

但是要考虑两种情况：

1、像aba，这样长度为奇数。

2、想abba，这样长度为偶数。

string findLongestPalindrome(string &s)
{
	const int length=s.size();
	int maxlength=0;
	int start;

	for(int i=0;i=0&&kmaxlength)
			{
				maxlength=k-j+1;
				start=j;
			}
			j--;
			k++;
		}
	}

	for(int i=0;i=0&&kmaxlength)
			{
				maxlength=k-j+1;
				start=j;
			}
			j--;
			k++;
		}
	}
	if(maxlength>0)
		return s.substr(start,maxlength);
	return NULL;
}

4、Manacher法

Manacher法只能解决例如aba这样长度为奇数的回文串，对于abba这样的不能解决，于是就在里面添加特殊字符。我是添加了“#”，使abba变为a#b#b#a。这个算法就是利用已有回文串的对称性来计算的，具体算法复杂度为O(N)，我没看出来，因为有两个嵌套的for循环。

具体原理参考这里。

测试代码中我没过滤掉“#”。

#define min(x, y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x, y) ((x)<(y)?(y):(x))
string findLongestPalindrome3(string s)
{
	int length=s.size();
	for(int i=0,k=1;i=0&&i+jmax)
		{
			max=rad[i];
			center=i;
		}
	}
	return s.substr(center-max,2*max+1);

}