【CG物理模拟系列】流体模拟--粒子法之Position Based Fluids

Position Based Fluids

我们使用粒子法进行流体模拟时，一个很重要的因素就是如何保持流体的非压缩性。非压缩性是指，随着流体的流动，密度在空间和时间上不发生变化，比如像水这样的流体，另外，与音速相比流速足够小的空气也可以当成非压缩性流体来考虑 (接近音速的时候，空气会发生压缩，音速飞机产生的冲击波即音爆便是由空气压缩产生的)。为了保持非压缩性，学者们提出了各种各样的方法，如MPS,WCSPH,PCISPH,IISPH等， 这之中，能非常高速且稳定计算的方法便是我们这次要讲的基于位置流体法(Position Based Fluids, 以下简称PBF)[1]。

PBF是基于位置法(Position-based method)[2] 中的一种。Position-based法与以前的基于力学方法不同，是根据物体位置(空间坐标值)间的制约条件直接更新物体(传统的基于力学法则是根据支配方程，按照加速度->速度->位置的顺序逐步变更)，因此不会产生在传统力学方法中由逐步积分所产生的误差积累。但是，由于这种方法中，顶点及粒子的位置关系所遵循的制约条件是属于几何学的范畴，严格意义上讲不属于物理模拟。

Position-based法介绍

这里先对基本的position-based法进行说明。首先，对于一个产生位移的点，其坐标为，是其制约条件。 正常状态下， 当粒子发生一个微小量的移动后，也满足这个条件，即 。 把这个式子泰勒展开，即

忽略掉2次以上的项，我们将得到一个关于的方程。

可以由制约条件的定义计算。现在，把当作粒子的中心坐标，在3次元空间粒子数为的条件下，需求得未知数的个数为。 如果每个粒子都分别计算一次的话(也就是)， 上述方程个数为，未知数个数是，我们很难轻易求出解。因此，需要针对添加额外的制约条件。

假设点是按照某运动方程发生移动，而则是按照不同于运动方程的其他的制约条件来移动的。这样的话，就需要一个不妨碍原来的运动(平行移动和旋转)的移动方向，也就是要保留平行移动和旋转量的移动方向。 考虑到制约条件要对运动状态不产生影响，于是的方向便与原来的运动方向垂直。也就是，的方向与相同。 导入一个拉格朗日乘数，使得

带入上面的关于的方程，整理得，

然后把求得的带入的式子，可以得到满足条件的移动向量，进而可以更新点的位置。

Position-based法在粒子法中的应用

首先，我们要想出一个满足非压缩性条件的制约条件(Constraint)。假设流体初始密度是，流体不发生压缩就是指其密度一直保持不变，也就是要满足。把它转换成关于位置的制约，如下
　　　　　　・・・(1)

然后，按照粒子法之一的SPH法，求解某粒子的密度：

这里的是粒子的临近粒子的集合，是粒子质量，是有效半径。在临近粒子数为的时候，与粒子的密度相关的制约，是一个与临近粒子坐标相关的函数，的计算公式如下：
　　　　　　・・・(2)

可由把密度的公式代入式(1)求得。 如下，

这里要注意的是，由于是与和(和)相关的函数，满足的微分为0的条件只有和。于是上式可以改写成下面这样：
　　　　　　・・・(3)

的时候由于包含了所以直接计算便可。 时，由于只有的时候包含，所以只计算这一种情况即可 (这里的负号是由于)。另外，实际计算的时候一般都会把所有的粒子质量设为定值，简化运算。

由式(2)和式(3)可以计算出各粒子的拉格朗日乘数，下面我们来求各粒子的位置修正量。为使得对临近粒子的影响以及受临近粒子的影响保持对称(和SPH法的圧力项同理)，我们用如下公式计算：
　　　　　　・・・(4)

 原本这里的和的平均要乘以的， 但是与SOR法的加速缓和系数同理，不乘的话收敛会更加迅速。

张力的稳定化

SPH法中，当临近粒子数很少的时候，会发生由负压力所产生的粒子过度集中的现象(称作particle clustering或particle stacking)。这里参照Monaghan[3] 的解决方案，把下式添加到式(4)里，将的部分改成

这里的参数值,,。 

边界粒子

前面所说的particle stacking现象在边界附近也会发生。粒子与固体边界间的碰撞处理，由于固体内部不存在粒子，因此粒子会在边界附近聚集。一个比较好的解决方法便是在固体边界内设置位置固定的粒子(边界粒子)。通常，为了符合边界粒子的有效半径会使用复数层的粒子配置，这里我们参照Akinci的方法[4]，使用提前计算好的幻想体积，只设置一层粒子来计算。把粒子沿边界设置好之后，只对边界粒子按照[4]中的下式计算幻想体积。

此时，在计算PBF中的边界粒子质量时，替换成即可 。

参考文献 

[1] M. Macklin and M. Muller, "Position based fluids" ACM Trans. Graph., 32, pp.104:1-104:12, 2013.

[2] M. Muller, B. Heidelberger, M. Hennix and J. Ratcliff, "Position based dynamics", J. Vis. Comun. Image Represent., 18, pp.109-118, 2007.

[3] J. Monaghan, "SPH without a Tensile Instability", Journal of Computational Physics, 159, pp.290-311, 2000.

[4] N. Akinci, M. Ihmsen, G. Akinci, B. Solenthaler and M. Teschner, "Versatile rigid-fluid coupling for incompressible SPH", ACM Trans. Graph., ACM, 31, pp.62:1-62:8, 2012.