[Luogu P4630] [BZOJ 5463] [APIO2018] Duathlon 铁人两项

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题目描述

比特镇的路网由 $m$ 条双向道路连接的 $n$ 个交叉路口组成。

最近，比特镇获得了一场铁人两项锦标赛的主办权。这场比赛共有两段赛程：选手先完成一段长跑赛程，然后骑自行车完成第二段赛程。

比赛的路线要按照如下方法规划：

1. 先选择三个两两互不相同的路口 $s,c$和 $f$，分别作为比赛的起点、切换点（运动员在长跑到达这个点后，骑自行车前往终点）、终点。
2. 选择一条从 $s$ 出发，经过 $c$ 最终到达 $f$ 的路径。考虑到安全因素，选择的路径经过同一个点至多一次。

在规划路径之前，镇长想请你帮忙计算，总共有多少种不同的选取 $s,c$和 $f$的方案，使得在第 $2$步中至少能设计出一条满足要求的路径。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数 $n$和 $m$ ，分别表示交叉路口和双向道路的数量。

接下来 $m$行，每行两个整数 $v_i,u_i$ 。表示存在一条双向道路连接交叉路口 $v_i,u_i$ $(1\le v_i,u_i\le n,v_i̸=u_i)$。

保证任意两个交叉路口之间，至多被一条双向道路直接连接。

输出格式：

输出一行，包括一个整数，表示能满足要求的不同的选取 $s,c$ 和 $f$ 的方案数。

输入输出样例

输入样例#1：

4 3
1 2
2 3
3 4

输出样例#1：

8

输入样例#2：

4 4
1 2
2 3
3 4
4 2

输出样例#2：

14

解题分析

显然缩出点双后， 确定两点之间可以选的中间点就是路径上所有点和点双的点数之和。

考虑把单独一条边也视为一个点双， 那么建出圆方树， 把方点的权值设为点双的大小， 原点的权值设为$-1$， 路径上可选中间点数恰好就是路径和， 然后可以转化为计算每点的贡献。

总复杂度$O(N)$。

代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define R register
#define IN inline
#define MX 200500
#define gc getchar()
#define ll long long
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
template <class T> IN T max(T a, T b) {return a > b ? a : b;}
template <class T> IN T min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}
int n, m, top, arr, dcnt, sum, cnt;
int head[MX], val[MX], siz[MX], dfn[MX], low[MX], sta[MX], h[MX];
ll ans;
struct Edge {int to, nex;} edge[MX << 2];
IN void add1(R int from, R int to)
{edge[++cnt] = {to, head[from]}, head[from] = cnt;}
IN void add2(R int from, R int to)
{edge[++cnt] = {to, h[from]}, h[from] = cnt;}
void tarjan(R int now)
{
	dfn[now] = low[now] = ++dcnt;
	sta[++top] = now; val[now] = -1; ++sum;
	for (R int i = head[now]; i; i = edge[i].nex)
	{
		if (!dfn[edge[i].to])
		{
			tarjan(edge[i].to);
			low[now] = min(low[now], low[edge[i].to]);
			if (low[edge[i].to] == dfn[now])
			{
				add2(now, ++arr); val[arr] = 1; int tp = 0;
				do
				{
					tp = sta[top--]; add2(arr, tp);
					++val[arr];
				} while (tp ^ edge[i].to);
			}
		}
		else low[now] = min(low[now], dfn[edge[i].to]);
	}
}
void solve(R int now)
{
	if (now <= n) siz[now] = 1;
	for (R int i = h[now]; i; i = edge[i].nex)
	{
		solve(edge[i].to);
		ans += 1ll * siz[now] * siz[edge[i].to] * val[now];
		siz[now] += siz[edge[i].to];
	}
	ans += 1ll * (sum - siz[now]) * siz[now] * val[now];
}
int main(void)
{
	int a, b; in(n), in(m); arr = n;
	for (R int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		in(a), in(b);
		add1(a, b), add1(b, a);
	}
	for (R int i = 1; i <= n; ++i)
	if (!dfn[i]) sum = 0, tarjan(i), solve(i);
	printf("%lld\n", ans * 2);
}