BFPRT算法（TOP-K问题）

一：背景介绍

在一大堆数中求其前k大或前k小的问题，简称TOP-K问题。而目前解决TOP-K问题最有效的算法即是BFPRT算法，其又称为中位数的中位数算法，该算法由Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan提出，最坏时间复杂度为 O(n) 。

在首次接触TOP-K问题时，我们的第一反应就是可以先对所有数据进行一次排序，然后取其前k即可，但是这么做有两个问题：
（1）：快速排序的平均复杂度为 O(nlogn) ，但最坏时间复杂度为 O(n2) ，不能始终保证较好的复杂度。
（2）：我们只需要前k大的，而对其余不需要的数也进行了排序，浪费了大量排序时间。

除这种方法之外，堆排序也是一个比较好的选择，可以维护一个大小为k的堆，时间复杂度为 O(nlogk) 。

那是否还存在更有效的方法呢？受到快速排序的启发，通过修改快速排序中主元的选取方法可以降低快速排序在最坏情况下的时间复杂度（即BFPRT算法），并且我们的目的只是求出前k，故递归的规模变小，速度也随之提高。下面来简单回顾下快速排序的过程，以升序为例：
（1）：选取主元（首元素，尾元素或一个随机元素）；
（2）：以选取的主元为分界点，把小于主元的放在左边，大于主元的放在右边；
（3）：分别对左边和右边进行递归，重复上述过程。

二：BFPRT算法过程及代码

BFPRT算法步骤如下：
（1）：选取主元；
  （1.1）：将n个元素划分为 ⌊n5⌋ 个组，每组5个元素，若有剩余，舍去；
  （1.2）：使用插入排序找到 ⌊n5⌋ 个组中每一组的中位数；
  （1.3）：对于（1.2）中找到的所有中位数，调用BFPRT算法求出它们的中位数，作为主元；
（2）：以（1.3）选取的主元为分界点，把小于主元的放在左边，大于主元的放在右边；
（3）：判断主元的位置与k的大小，有选择的对左边或右边递归。

上面的描述可能并不易理解，先看下面这幅图：

BFPRT()调用GetPivotIndex()和Partition()来求解第k小，在这过程中，GetPivotIndex()也调用了BFPRT()，即GetPivotIndex)和BFPRT()为互递归的关系。

下面为代码实现，其所求为前K小的数：

/**
* BFPRT算法（前K小数问题）
*
* author    刘毅（Limer）
* date      2017-01-25
* mode      C++
*/

#include
#include
using namespace std;

int InsertSort(int  array[], int left, int right);                 //插入排序，返回中位数下标
int GetPivotIndex(int  array[], int left, int right);              //返回中位数的中位数下标
int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index);  //利用中位数的中位数的下标进行划分，返回分界线下标
int BFPRT(int array[], int left, int right, const int & k);        //求第k小，返回其位置的下标

int main()
{
    int k = 5;
    int array[10] = { 1,1,2,3,1,5,-1,7,8,-10 };

    cout << "原数组：";
    for (int i = 0; i < 10; i++)
        cout << array[i] << " ";
    cout << endl;

    cout << "第" << k << "小值为：" << array[BFPRT(array, 0, 9, k)] << endl;

    cout << "变换后的数组：";
    for (int i = 0; i < 10; i++)
        cout << array[i] << " ";
    cout << endl;

    return 0;
}

/* 插入排序，返回中位数下标 */
int InsertSort(int array[], int left, int right)
{
    int temp;
    int j;
    for (int i = left + 1; i <= right; i++)
    {
        temp = array[i];
        j = i - 1;
        while (j >= left && array[j] > temp)
            array[j + 1] = array[j--];
        array[j + 1] = temp;
    }

    return ((right - left) >> 1) + left;
}

/* 返回中位数的中位数下标 */
int GetPivotIndex(int array[], int left, int right)
{
    if (right - left < 5)
        return InsertSort(array, left, right);

    int sub_right = left - 1;
    for (int i = left; i + 4 <= right; i += 5)
    {
        int index = InsertSort(array, i, i + 4);  //找到五个元素的中位数的下标
        swap(array[++sub_right], array[index]);   //依次放在左侧
    }

    return BFPRT(array, left, sub_right, ((sub_right - left + 1) >> 1) + 1);
}

/* 利用中位数的中位数的下标进行划分，返回分界线下标 */
int Partition(int array[], int left, int right, int pivot_index)
{
    swap(array[pivot_index], array[right]);  //把基准放置于末尾

    int divide_index = left;  //跟踪划分的分界线
    for (int i = left; i < right; i++)
    {
        if (array[i] < array[right])
            swap(array[divide_index++], array[i]);  //比基准小的都放在左侧
    }

    swap(array[divide_index], array[right]);  //最后把基准换回来
    return divide_index;
}

int BFPRT(int array[], int left, int right, const int & k)
{
    int pivot_index = GetPivotIndex(array, left, right);            //得到中位数的中位数下标
    int divide_index = Partition(array, left, right, pivot_index);  //进行划分，返回划分边界
    int num = divide_index - left + 1;
    if (num == k)
        return divide_index;
    else if (num > k)
        return BFPRT(array, left, divide_index - 1, k);
    else
        return BFPRT(array, divide_index + 1, right, k - num);
}

三：时间复杂度分析

BFPRT算法在最坏情况下的时间复杂度是 O(n) ，下面予以证明。令 T(n) 为所求的时间复杂度，则有：

T(n)≤T(n5)+T(7n10)+c⋅n(c为一个正常数)

其中：

• T(n5) 来自GetPivotIndex()，n个元素，5个一组，共有 ⌊n5⌋ 个中位数；
• T(7n10) 来自BFPRT()，在 ⌊n5⌋ 个中位数中，主元x大于其中 12⋅n5=n10 的中位数，而每个中位数在其本来的5个数的小组中又大于或等于其中的3个数，所以主元x至少大于所有数中的 n10⋅3=3n10 个。即划分之后，任意一边的长度至少为 310 ，在最坏情况下，每次选择都选到了 710 的那一部分。
• c⋅n 来自其它操作，比如InsertSort()，以及GetPivotIndex()和Partition()里所需的一些额外操作。

设 T(n)=t⋅n ，其中t为未知，它可以是一个正常数，也可以是一个关于n的函数，代入上式：

t⋅ntt≤t⋅n5+7t⋅n10+c⋅n≤t5+7t10+c≤10c(两边消去n)(再化简)(c为一个正常数)

其中c为一个正常数，故t也是一个正常数，即 T(n)≤10c⋅n ，因此 T(n)=O(n) ，至此证明结束。

接下来的更有意思的话题就是BFPRT算法为何选5作为分组基准，为何不是2,3,7,9呢？
首先排除偶数，对于偶数我们很难取舍其中位数，而奇数很容易。
再者对于3而言，会有 T(n)≤T(n3)+T(2n3)+c⋅n ，它本身还是操作了n个元素，与以5为基准的 9n10 相比，其复杂度并没有减少。
对于，7，9，…而言，对于上式中的10c，其整体都会增加，所以与5相比，5更适合。

参考文献：
[1] 算法导论（第3版）
[2] 算法设计与分析基础（第3版）
[3] Wikipedia. Median of medians
[4] ACdreamers. BFPRT 算法
[5] NOALGO. BFPRT算法

转自我的个人博客，原文为：http://www.61mon.com/index.php/archives/175/