Prim算法（普里姆算法）
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：V
new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E
new = {},为空；
3).重复下列操作，直到V
new = V：
a.在集合E中选取权值最小的边，其中u为集合V
new中的元素，而v不在V
new 集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合V
new中，将边加入集合E
new中；
4).输出：使用集合V
new和E
new来描述所得到的 最小生成树。
| 最小边、权的数据结构 | 时间复杂度（总计） |
|---|---|
| 邻接矩阵、搜索 | O(V^2) |
| 二叉堆（后文伪代码中使用的数据结构）、邻接表 | O((V + E) log(V)) = O(E log(V)) |
| 斐波那契堆、邻接表 | O(E + V log(V)) |
通过邻接矩阵图表示的简易实现中，找到所有最小权边共需O（V）的运行时间。使用简单的二叉堆与邻接表来表示的话，普里姆算法的运行时间则可缩减为O(ElogV)，其中E为连通图的边数，V为顶点数。如果使用较为复杂的斐波那契堆，则可将运行时间进一步缩短为O(E+VlogV)，这在连通图足够密集时（当E满足Ω（VlogV）条件时），可较显著地提高运行速度。
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
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此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
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顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
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下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
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算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
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在当前情况下，可以在
C、
E与
G间进行选择。
C距
B为8，
E距
B为7，
G距
F为11。点
E最近，因此将顶点
E与相应边
BE高亮表示。
|
无 | C, E, G | A, D, F, B |
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这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
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顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
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现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
c代码
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#include
#include
#definemax1000000000;
inta[1001][1001],d[1001],p[1001];
intmain(){
inti,j,k,m,n,min,ans,t;
intx,y,z;
scanf
(
"%d%d"
,&n,&m);
for
(i=1;i<=m;i++){
scanf
(
"%d%d%d"
,&x,&y,&z);
a[x][y]=z;
a[y][x]=z;
}
for
(i=1;i<=n;i++)
d[i]=1000000000;
d[1]=0;
for
(i=2;i<=n;i++){
min=max;
for
(j=1;j<=n;j++)
if
(!p[j]&&min>d[j])
min=d[j];
t=j;
}
p[t]=j;
for
(j=1;j<=n;j++)
if
(a[t][j]=0&&d[j]>a[t][j]){
d[j]=a[t][j];
ans+=min;
}
printf
(
"%d"
,ans);
return0;
}
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C++代码
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#defineMAXN1000
#defineINF1<<30
intclosest[MAXN],lowcost[MAXN],m;//m为节点的个数
intG[MAXN][MAXN];//邻接矩阵
intprim()
{
for(inti=0;i{
lowcost[i]=INF;
}
for(inti=0;i{
closest[i]=0;
}
closest[0]=-1;//加入第一个点，-1表示该点在集合U中，否则在集合V中
intnum=0,ans=0,e=0;//e为最新加入集合的点
while(num{
intmicost=INF,miedge=-1;
for(inti=0;iif(closest[i]!=-1)
{
inttemp=G[e][i];
if(temp{
lowcost[i]=temp;
closest[i]=e;
}
if(lowcost[i]micost=lowcost[miedge=i];
}
ans+=micost;
closest[e=miedge]=-1;
num++;
}
returnans;
}
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