【WinterCamp 2013】楼房重建（线段树维护动态单调栈）

Problem

• 题意就是求一个支持修改的单调栈长度.

• 修改次数$m$，序列长度$n$.

Data constraint

• $n,m\le 100000$

Solution

• 这是一个经典模型.

• 这个是用线段树来实现的，先不妨假设现在要求上升子序列长度.

• 那么如果我们要修改，则直接在线段树上找到对应位置，然后进行修改即可.

• 对于线段树每个节点，维护一个$Ans$（这个区间单调栈的长度），一个$v$（这个区间内数的最大值）

• 现在，当只有最左边一个数时，单调栈长度显然为$1$.

• 那么归纳，假设左边的单调栈已经构好，现在需要计算当前节点的答案.

• 那么显然 当前答案 = 左边的答案 + 左边最大的数放在$M+1\sim en$这段区间内得到的单调栈长度

• 而形如$X=Y+Z$的这个式子，右边的$Z$依旧可以$log$的时间复杂度内计算出来，做法类似.

• 不妨设$f(x,y,z)$表示在$[x,y]$这段闭区间形成的单调栈栈顶加入$z$这个点形成的新单调栈长度，$Ls,Rs$分别表示左右儿子，$now$表示当前点.

• 那么依旧是讨论，假设左区间$[x,M]$的最大值小于等于插入的数，那么贡献显然是$f(M+1,en,z)$

• 否则贡献是$(tr[now].v-tr[Ls].v)+f(st,M,v)$，这里是整个算法最巧妙的一处.

• 因为整个过程是在线段树上进行的，所以当计算到$x$这个点的答案时，其所有儿子的答案都已经计算完毕了.

• 那么因为$tr[now].v=tr[Ls].v+f(M+1,en,tr[Ls].v)$，所以实际上$f(M+1,en,tr[Ls].v)$是等价于$tr[now].v-tr[Ls].v$.

• 所以整个算法就是$O(nlo{g}^{2}n)$的。

#include 

#define F(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define M (st + en >> 1)
#define Ls (x << 1)
#define Rs (Ls | 1)

using namespace std;

int n, m, X, Y;
struct node { double v; int ans; } F[400000];

int Calc(int x, int st, int en, double v) {
	if (st == en)
		return F[x].v > v;
	else
		return F[Ls].v <= v ? Calc(Rs, M + 1, en, v) : F[x].ans - F[Ls].ans + Calc(Ls, st, M, v);
}

void Make(int x, int st, int en, int p, double v) {
	if (st == en)
		F[x] = {v, 1};
	else
		M >= p ? Make(Ls, st, M, p, v) : Make(Rs, M + 1, en, p, v),
		F[x].v = max(F[Ls].v, F[Rs].v), F[x].ans = F[Ls].ans + Calc(Rs, M + 1, en, F[Ls].v);
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	F(i, 1, m)
		scanf("%d%d", &X, &Y),
		Make(1, 1, n, X, (double) Y / X),
		printf("%d\n", F[1].ans);
}