分块算法详解

一. 啥是分块

分块，顾名思义，就是把一个东西分成多个块来进行维护操作，也被称为优雅的暴力。

二. 分块的操作

1. 分组

我们设数组长度为 $N$ ，分成 $K$ 块，每块长度 $\frac{N}{K}$ 。对于一次区间操作，对区间內部的整块进行整体的操作，对区间边缘的零散块单独暴力处理。

所以，块数不能太少也不能太多。所以，一般来说，我们取得块长（块的长度）为 $\sqrt{N}$ 。这样我们的时间复杂度即为带 $\sqrt{N}$ 的。这是一种根号算法。

尽管比不上线段树以及树状数组，但是分块的可灵活性，但不用一层一层传数据的特性，让分块算法更加难以模板化。

分块代码：

int block=sqrt(n); //块长
for(int i=1;i<=n;i++)
{
   
	belong[i]=(i-1)/block+1; //每一个位置的分组
}

2. 区间加法&单点查询

我们可以先将区间首位和末位的余块（不完全的块）暴力加上一个数。中间完整的块可以维护一个 $\mathrm{tag}$ 数组，加上一个数的时候把 $\mathrm{tag}$ 数组也加上这个数。最后输出的时候把原数加上 $\mathrm{tag}$。

代码：

#include
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
const int Maxn=5e4+10;
int belong[Maxn];
int Ar[Maxn];
int tag[Maxn];
int main()
{
   
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int block=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
   
        scanf("%d",&Ar[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
   
        belong[i]=(i-1)/block+1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
   
        int opt,l,r,c;
        scanf("%d%d%d%d",&opt,&l,&r,&c);
        if(opt==0)
        {
   
            for(int i=l;i<=min(belong[l]*block,r);i++)
            {
   
                Ar[i]+=c;
            }
            if(belong[l]!=belong[r])
            {
   
                for(int i=(belong[r]-1)*block+1;i<=r;i++)
                {
   
                    Ar[i]+=c;
                }
            }
            for(int i=belong[l]+1;i<=belong[r]-1;i++)
            {
   
                tag[i]+=c;
            }
        }else{
   
            printf("%d\n",Ar[r]+tag[belong[r]]);
        }
    }
    return 0;
}

3.区间加法&询问区间内小于某个值 x 的元素个数

利用上一题的思想，可以先处理出 $\mathrm{tag}$ 数组，然后维护一个 $G$ 的 $\mathrm{vector}$ 数组，利用 $\mathrm{lower}\mathrm{bound}$ 函数求出。

#include
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
using namespace std;
#define int long long
 
const int Maxn=5e4+10;
int belong[Maxn];
int n;
int block;
long long Ar[Maxn];
int tag[Maxn];
vector<int> G[Maxn];
void reset(int x)
{
   
    G[x].resize(0);
    for(int i=(x-1)*block+1;i<=min(x*block,n);i++)
    {
   
        G[x].push_back(Ar[i]);