frog jump

题目来源 leetcode 403
青蛙要过条河，河被分为n个区域，每个区域要么是水，要么是岩石。现在青蛙在第一块岩石上，它要通过不断跳跃到岩石上来到达最后一块岩石以渡河。青蛙最先开始只能跳跃过一个区域，若一次跳跃跳跃了k格，那么青蛙下一次跳跃只能跳跃k-1或k或k+1格，并且青蛙只能向前跳跃。给定一个stones数组，用于表示岩石的位置。例如[0,1,3,5,6,8,12,17]表示岩石分别在0,1,3,5,6,8,12,17号区域。而青蛙可以通过依次跳上0,1,3,5,8,12,17来渡河。容易发现如果岩石的位置不佳，青蛙不一定能够渡河。问题便是给出一组岩石位置，求解青蛙是否能成功渡河。
这个问题可以用动态规划的思想来解决。用布尔数组dp[n][m]表示青蛙在第n块岩石跳跃m格之后继续跳跃能否成功渡河。对于上面的例子dp[1][1]就为真，因为青蛙从0位置跳到1位置之后，继续跳跃可以渡河，然而dp[3][3]j就为假，因为青蛙在3位置如果直接跳到6位置，那么之后无论青蛙如何跳跃，都无法成功渡河。注意到对于dp[n][m]，只有当m小于等于n的时候才是有意义的，因为青蛙跳到第n块石头上时，其下一次跳跃最多也只能跳跃n格。显然，根据题目条件，我们要求解的就是dp[1][1]。我们还可以推知，dp[n][k](0<=k<=n)为真。那么，我们可以考虑由dp[n][k]倒推至dp[1][1]。

考虑青蛙在第i块石头的情况。我们可以从最后一块石头开始向第i块石头扫描，依次判断当前石头与第i块石头的距离是否小于等于i，若是，则就可以更新dp[i][k]，其中k为当前石头与第i块石头的距离。因为这个时候，青蛙可以尝试从第i块石头跳跃k步至之后的某块石头j，再根据j的情况判断是否可以成功渡河。状态转移方程为dp[i][k]=dp[j][k-1]||dp[j][k]||dp[j][k+1]。对于石头j处跳跃k-1,k,k+1步这三种情况，只要有一种情况可以到达终点，就表明从i跳跃k步可以到达终点。状态数O(n^2)，处理状态时间复杂度为O(1)。总时间复杂度为O(n^2)。

bool canCross(vector& stones) {
	vector > dp(stones.size()+1);
	for (int i = 1; i < stones.size() + 1; i++)
	{
		dp[i] = vector(i + 1, 0);
	}
	for (int i = 0; i < dp[stones.size()].size(); i++)
	{
		dp[stones.size()][i] = 1;
	}
	for (int i = stones.size()-1; i >= 1; i--)
	{
		for (int j = stones.size(); j>i; j--)
		{
			if (stones[j - 1] - stones[i - 1] < dp[i].size())
			{
				if (!dp[i][stones[j - 1] - stones[i - 1]])
				{
					dp[i][stones[j - 1] - stones[i - 1]] = dp[j][stones[j - 1] - stones[i - 1]] || dp[j][stones[j - 1] - stones[i - 1] - 1] || dp[j][stones[j - 1] - stones[i - 1] + 1];
				}
				
			}
		}
	}
	return dp[1][1];
}