Halton Sequence 原理和代码实现

Halton Sequence是一种随机序列，被用来生成均匀分布的随机数。最常被应用的地方就是Monte Carlo算法。因为最近在学习MapReduce算法，在看对PI的计算实现时了解到Halton Sequence，但惊讶地发现Google竟然搜不到多少介绍，不知道是已经没什么人用了，还是比较冷门呢。Anyway，hadoop计算PI用到了，所以我也就了解下啦。

Halton Sequence经常被用来选取空间中的均匀随机点。但其实我理解它不是一种随机选取算法，因为它更强调平均，是通过一定的算法让所选取的点精确地均匀分布在空间里。

算法

Halton算法其实不难，就是选取一个质数作为基数，然后不断地切分，从而形成一些不重复并且均匀的点，每个点的坐标都在0~1之间。

比如，在一个一维数轴上，取2作为基数。那么首先对(0,1)进行切分，得到1/2；然后对(0,1/2)和(1/2,1)进行切分，得到1/4和3/4；然后在对(0,1/4), (1/4, 1/2), (1/2, 3/4)和(3/4,1)进行切分...最终得到的数列为：

¹⁄₂, ¹⁄₄, ³⁄₄, ¹⁄₈, ⁵⁄₈, ³⁄₈, ⁷⁄₈, ¹⁄₁₆, ⁹⁄₁₆,...

同理，以3为基数得到的数列为：

¹⁄₃, ²⁄₃, ¹⁄₉, ⁴⁄₉, ⁷⁄₉, ²⁄₉, ⁵⁄₉, ⁸⁄₉, ¹⁄₂₇,...

实现

算法的原理不难，但编程实现就不那么简单了。至少我观察了很久也没发现这一组数组该怎么快速实现，wiki上的伪码也太糙了，看不懂。查了很久，才查到一点简单的说明，琢磨了下，现在分享出来：

要取第n个数：

• 首先要把n化为b进制数，其中b就是指定的基数。
• 然后把转化后的数反转到小数点后，转化为小数。
• 最后，再把这个b进制数转回成十进制数。

比如，以2为基数，取第6个数，首先转化为2进制数为110. 然后把110反转到小数点后成了0.011，这是二进制数。然后把二进制的0.011转化为十进制，就是 0.5*0 + 0.25*1 + 0.125*1=0.375 。所以第六个数就是0.375.

到这里其实就很清晰了，我们把第一步和第二步合并一下，就是：

第n个数 = 求和{ b进制 * 每一位的进位取负次方}

例如上面以2为基数的第6个数（110）：

= 1 * 1/2^2 + 1 * 1/2^1 + 0*1/2^0. 

代码

下面是二维Halton Sequence的java代码实现。基数可以自己指定：

public class HaltonSequence {
	static int digit = 40;
	private int[] bases= new int[2];
	private double[] baseDigit = new double[2];
	private double[][] background = new double[2][digit];
	private long index;
	
	HaltonSequence(int[] base) {
		bases = base.clone();
		index = 0;

		for(int i=0; i