算法 | 动态dp学习笔记 | 未完待更
动态dp学习笔记
- 参考博文
前置知识
- 树链剖分
- 简单树形dp
- 矩阵乘法
什么是动态dp
对一个dp进行修改操作…
传统做法是使用树链剖分…一条重链一条重链地进行dp
从例题入手——
luogu4719 【模版】动态dp
参考博文
很简单我们可以设出这么一个dp状态
d p [ u ] [ 0 / 1 ] dp[u][0/1] dp[u][0/1]其中 0 0 0表示不在集合里面的最大值, 1 1 1则表示在集合里面的最大值
那么有转移式子
d p [ u ] [ 0 ] = ∑ v ∈ s o n u m a x ( d p [ v ] [ 0 ] , d p [ v ] [ 1 ] ) dp[u][0]=\sum_{v \in {son}_u}max(dp[v][0],dp[v][1]) dp[u][0]=v∈sonu∑max(dp[v][0],dp[v][1])
d p [ u ] [ 1 ] = ∑ v ∈ s o n u d p [ v ] [ 0 ] dp[u][1]=\sum_{v \in son_u}dp[v][0] dp[u][1]=v∈sonu∑dp[v][0]
换句话说我们采取一种dfs和bfs混合的方式遍历这颗树，
每次到达一个重链的顶部的时候我们直接将这个重链全部塞到队列里，
然后我们递归下去遍历和重链相连的所有重链，最后处理这个重链，
当处理完这个重链之后我们发现我们已经处理完了这个重链顶所在的子树了
那么我们对于重链上的每一个点…先根据轻儿子的dp值 l d p [ u ] [ 0 / 1 ] ldp[u][0/1] ldp[u][0/1]
l d p [ u ] [ 0 ] = ∑ v ∈ l i g h t s o n u m a x ( d p [ v ] [ 0 ] , d p [ v ] [ 1 ] ) ldp[u][0]=\sum_{v \in lightson_u}max(dp[v][0],dp[v][1]) ldp[u][0]=v∈lightsonu∑max(dp[v][0],dp[v][1])
l d p [ u ] [ 1 ] = ∑ v ∈ l i g h t s o n u d p [ v ] [ 0 ] ldp[u][1]=\sum_{v \in lightson_u} dp[v][0] ldp[u][1]=v∈lightsonu∑dp[v][0]
那么我们就可以根据轻儿子的dp值跑dp
d p [ u ] [ 0 ] = l d p [ u ] [ 0 ] + m a x ( d p [ u . h e a v y s o n ] [ 0 ] , d p [ u . h e a v y s o n ] [ 1 ] ) dp[u][0]=ldp[u][0]+max(dp[u.heavyson][0],dp[u.heavyson][1]) dp[u][0]=ldp[u][0]+max(dp[u.heavyson][0],dp[u.heavyson][1])
d p [ u ] [ 1 ] = l d p [ u ] [ 1 ] + d p [ u . h e a v y s o n ] [ 0 ] dp[u][1]=ldp[u][1]+dp[u.heavyson][0] dp[u][1]=ldp[u][1]+dp[u.heavyson][0]
这样的转换使得树上问题转变成了序列上的问题
我们就可以使用线段树维护重链上的值
具体来讲，当我们修改一个点的值的时候，我们在对应的重链的线段树上进行修改，
此时会改变重链顶部的dp值，然后会改变重链顶的father的ldp值，
然后又对应了线段树上的单点修改，此时又会改变另一个重链顶的dp值，
那么如何在线段树上维护dp值呢？？？
- 我们将转移变成floyd的矩阵乘法形式
C i , j = m a x k ( A i , k + B k , j ) C_{i,j}=max_k(A_{i,k}+B_{k,j}) Ci,j=maxk(Ai,k+Bk,j)
- 加法对乘法和min,max运算都具有分配律·
那么就可以用树链剖分维护啦…
但是…树链剖分可以被特意构造的数据卡成 O ( n l o g n 2 ) O(nlog^2_n) O(nlogn2)（链式堆(根号n个长度为根号n的链连成完全二叉树的形状)）
就在这个时候全局平衡二叉树出现啦
线段树只是局部平衡…
我们在建全局平衡二叉树的时候
将每一个节点附上一个权值，权值为它所有轻儿子的siz之和+1，然后我们每次找这个链的带权重心，把他作为这一级的父亲，然后递归两边进行建bst
总结
当你学会了有动态dp这个东西的时候…
其实怎么样将dp转移转换成可以用线段树或者全局平衡二叉树维护的矩阵乘法就成为了关键…
这种将树上dp转换成序列dp用数据结构维护的思想是关键。