本文介绍几种常见排序算法（选择排序，插入排序，希尔排序，归并排序，快速排序，堆排序），对算法的思路、性质、特点、具体步骤、java实现以及trace图解进行了全面的说明。最后对几种排序算法进行了比较和总结。
写在前面
本文所有图片均截图自coursera上普林斯顿的课程《Algorithms, Part I》中的Slides
相关命题的证明可参考《算法（第4版）》
源码可在官网下载,也可以在我的github仓库 algorithms-learning下载，已经使用maven构建
仓库下载：
git clone [email protected]:brianway/algorithms-learning.git
基础介绍
java:
Interface Comparable
Java中很多类已经实现了Comparable接口，用户也可自定义类型实现该接口
total order:
Antisymmetry(反对称性): if v ≤ w and w ≤ v, then v = w.
Transitivity(传递性): if v ≤ w and w ≤ x, then v ≤ x.
Totality: either v ≤ w or w ≤ v or both.
注意： The <= operator for double is not a total order，violates totality: (Double.NaN <= Double.NaN) is false
通用代码：
// Less. Is item v less than w ?
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
//Exchange. Swap item in array a[] at index i with the one at index j
private static void exch(Comparable[] a,, int i, int j) {
Comparable swap = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = swap;
}
初级排序算法
selection sort(选择排序)
思路：
在第i次迭代中，在剩下的(即未排序的)元素中找到最小的元素
将第i个元素与最小的元素交换位置
现象：
设已排序的和未排序的交界处为 ↑，则每次循环， ↑ 从左往右移动一个位置
↑ 左边的元素（包括↑）固定了，且升序
↑ 右边的任一元素全部比左边的所有元素都大
步骤：
move the pointer to the right
indentify index of minimun entry on right
exchange into positon
java实现：
public static void sort(Comparable[] a) {
int N = a.length;
for (int i = 0; i < N; i++) {
int min = i;
for (int j = i+1; j < N; j++) {
if (less(a[j], a[min])) min = j;
}
exch(a, i, min);
}
}特点：
运行时间和输入无关，无论输入是已排序，时间复杂度都是O(n^2)
数据移动最少，交换的次数和数组大小是线性关系
insertion sort(插入排序)
思路：
在第i次迭代中，将第i个元素与每一个它左边且比它大的的元素交换位置
现象：
设已排序的和未排序的交界处为 ↑，则每次循环， ↑ 从左往右移动一个位置
↑ 左边的元素（包括↑）且升序，但位置不固定(因为后续可能会因插入而移动)
↑ 右边的元素还不可见
步骤：
Move the pointer to the right.
Moving from right to left, exchange
a[i]with each larger entry to its left.
java实现：
public static void sort(Comparable[] a) {
int N = a.length;
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = i; j > 0 && less(a[j], a[j-1]); j--) {
exch(a, j, j-1);
}
}
}inversion（倒置）：An inversion is a pair of keys that are out of order
部分有序：An array is partially sorted if the number of inversions is ≤ c N.
特点：
运行时间和输入有关，当输入已排序时，时间复杂度是O(n);
For partially-sorted arrays, insertion sort runs in linear time.(交换的次数等于输入中倒置(inversion)的个数)
插入排序适合部分有序数组，也适合小规模数组
ShellSort(希尔排序)
希尔排序是基于插入排序的。
思路：
Move entries more than one position at a time by h-sorting the array
按照h的步长进行插入排序
现象：
数组中任意间隔为h的元素都是有序的
A g-sorted array remains g-sorted after h-sorting it.
性质：
递增数列一般采用3x+1：1,4,13,40,121,364.....，使用这种递增数列的希尔排序所需的比较次数不会超过N的若干倍乘以递增数列的长度。
最坏情况下，使用3x+1递增数列的希尔排序的比较次数是O(N^(3/2))
java实现：
public static void sort(Comparable[] a) {
int N = a.length;
// 3x+1 increment sequence: 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, ...
int h = 1;
while (h < N/3) h = 3*h + 1;
while (h >= 1) {
// h-sort the array
for (int i = h; i < N; i++) {
for (int j = i; j >= h && less(a[j], a[j-h]); j -= h) {
exch(a, j, j-h);
}
}
h /= 3;
}
}shuffing(不是排序算法)
目标：Rearrange array so that result is a uniformly random permutation
shuffle sort思路
为数组的每一个位置生成一个随机实数
排序这个生成的数组
Knuth shuffle demo
In iteration i, pick integer r between 0 and i uniformly at random.
Swap
a[i]anda[r].
correct variant: between i and N – 1
Mergesort--Java sort for objects.
Quicksort--Java sort for primitive types.
下面看看这两种排序算法
merge sort(归并排序)
思路：
Divide array into two halves.
Recursively sort each half.
Merge two halves.
Abstract in-place merge(原地归并的抽象方法)
Given two sorted subarrays a[lo] to a[mid] and a[mid+1] to a[hi],replace with sorted subarray a[lo] to a[hi]
步骤：
先将所有元素复制到
aux[]中，再归并回a[]中。-
归并时的四个判断：
左半边用尽(取右半边元素)
右半边用尽(取左半边元素)
右半边的当前元素小于左半边的当前元素(取右半边的元素)
右半边的当前元素大于/等于左半边的当前元素(取左半边的元素)
merging java实现：
// stably merge a[lo .. mid] with a[mid+1 ..hi] using aux[lo .. hi]
private static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi) {
// precondition: a[lo .. mid] and a[mid+1 .. hi] are sorted subarrays
// copy to aux[]
for (int k = lo; k <= hi; k++) {
aux[k] = a[k];
}
// merge back to a[]
int i = lo, j = mid+1;
for (int k = lo; k <= hi; k++) {
if (i > mid) a[k] = aux[j++];
else if (j > hi) a[k] = aux[i++];
else if (less(aux[j], aux[i])) a[k] = aux[j++];
else a[k] = aux[i++];
}
}Top-down mergesort(自顶向下的归并排序)
mergesort java实现：
// mergesort a[lo..hi] using auxiliary array aux[lo..hi]
private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) {
if (hi <= lo) return;
int mid = lo + (hi - lo) / 2;
sort(a, aux, lo, mid); //将左边排序
sort(a, aux, mid + 1, hi); //将右边排序
merge(a, aux, lo, mid, hi); //归并结果
}自顶向下的归并排序的轨迹图
由图可知，原地归并排序的大致趋势是，先局部排序，再扩大规模；先左边排序，再右边排序；每次都是左边一半局部排完且merge了，右边一半才开始从最局部的地方开始排序。
改进
对小规模子数组使用插入排序
测试数组是否已经有序（左边最大<右边最小时，直接返回）
不将元素复制到辅助数组(节省时间而非空间)
Bottom-up mergesort(自底向上的归并排序)
思路：
先归并微型数组，从两两归并开始(每个元素理解为大小为1的数组)
重复上述步骤，逐步扩大归并的规模，2,4,8.....
java实现：
public class MergeBU{
private static void merge(...){ /* as before */ }
public static void sort(Comparable[] a){
int N = a.length;
Comparable[] aux = new Comparable[N];
for (int sz = 1; sz < N; sz = sz+sz)
for (int lo = 0; lo < N-sz; lo += sz+sz)
merge(a, aux, lo, lo+sz-1, Math.min(lo+sz+sz-1, N-1));
}
}自底向上的归并排序的轨迹图
由图可知，自底向上归并排序的大致趋势是，先局部排序，逐步扩大到全局排序；步调均匀，稳步扩大
quicksort
思路：
Shuffle the array.
Partition(切分) so that, for some j
entry a[j] is in place
no larger entry to the left of j
no smaller entry to the right of j
Sort each piece recursively.
其中很重要的一步就是Partition(切分)，这个过程使得满足以下三个条件:
对于某个j,a[j]已经排定;
a[lo]到a[j-1]中的所有元素都不大于a[j];
a[j+1]到a[hi]中的所有元素都不小于a[j];
partition java实现
// partition the subarray a[lo..hi] so that a[lo..j-1] <= a[j] <= a[j+1..hi]
// and return the index j.
private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
int i = lo;
int j = hi + 1;
Comparable v = a[lo];
while (true) {
// find item on lo to swap
while (less(a[++i], v))
if (i == hi) break;
// find item on hi to swap
while (less(v, a[--j]))
if (j == lo) break; // redundant since a[lo] acts as sentinel
// check if pointers cross
if (i >= j) break;
exch(a, i, j);
}
// put partitioning item v at a[j]
exch(a, lo, j);
// now, a[lo .. j-1] <= a[j] <= a[j+1 .. hi]
return j;
}快排java实现：
public static void sort(Comparable[] a) {
StdRandom.shuffle(a);
sort(a, 0, a.length - 1);
}
// quicksort the subarray from a[lo] to a[hi]
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
if (hi <= lo) return;
int j = partition(a, lo, hi);
sort(a, lo, j-1);
sort(a, j+1, hi);
assert isSorted(a, lo, hi);
}快排的轨迹图
由图可知，和归并排序不同，快排的大致趋势是，先全局大体有个走势——左边比右边小，逐步细化到局部；也是先左后右；局部完成时全部排序也就完成了。
一些实现的细节：
原地切分：不使用辅助数组
别越界：测试条件(j == lo)是冗余的(a[lo]不可能比自己小)；
保持随机性：初始时的随机打乱跟重要
终止循环
处理切分元素值有重复的情况：这里可能出问题
性质：
快排是in-place的
快排不稳定
改进
对小规模子数组使用插入排序
三取样切分
三向切分的快速排序
思路：
Let v be partitioning item a[lo].
Scan i from left to right.
(a[i] < v): exchange a[lt] with a[i]; increment both lt and i
(a[i] > v): exchange a[gt] with a[i]; decrement gt
(a[i] == v): increment i
主要是通过增加一个指针来实现的。普通的快拍只有lo和high两个指针，故只能记录大于(high右边)和小于(lo左边)两个区间，等于只能并入其中一个；这里增加了使用了lt,i,gt三个指针，从而达到记录大于(gt右边)、小于(lt左边)和等于(lt和i之间)三个区间。
三切分的示意图
三向切分的java实现：
// quicksort the subarray a[lo .. hi] using 3-way partitioning
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
if (hi <= lo) return;
int lt = lo, gt = hi;
Comparable v = a[lo];
int i = lo;
while (i <= gt) {
int cmp = a[i].compareTo(v);
if (cmp < 0) exch(a, lt++, i++);
else if (cmp > 0) exch(a, i, gt--);
else i++;
}
// a[lo..lt-1] < v = a[lt..gt] < a[gt+1..hi].
sort(a, lo, lt-1);
sort(a, gt+1, hi);
}Heapsort(堆排序)
思路：
Create max-heap with all N keys.
Repeatedly remove the maximum key.
swim:由下至上的堆有序化
sink:由上至下的对有序化
堆排序主要分为两个阶段：
堆的构造
下沉排序
java实现如下：
public static void sort(Comparable[] pq) {
int N = pq.length;
//堆的构造
for (int k = N/2; k >= 1; k--)
sink(pq, k, N);
//下沉排序
while (N > 1) {
exch(pq, 1, N--);
sink(pq, 1, N);
}
}堆排序的轨迹图
由图看出，堆排序的趋势是，堆构造阶段，大致是降序的走势，到了下沉阶段，从右到左（或者说从后往前）逐步有序
Significance： In-place sorting algorithm with N log N worst-case.
Mergesort: no, linear extra space.
Quicksort: no, quadratic time in worst case
缺点
Inner loop longer than quicksort’s.
Makes poor use of cache memory.
Not stable(不稳定)
总结和比较
排序算法总结表
最好情况和最坏情况：参见上面的表格
关于稳定性：
稳定性，插入排序，归并排序
不稳定：选择排序，快排，希尔排序，堆排序
原因： Long-distance exchange
关于额外空间：除了归并排序需要线性的额外空间，其他都是in-place的
命题
对于长度为N的数组，选择排序需要N^2/2次比较和N次交换(pf见P156)
-
对于随机排列的长度为N的且主键不重复的数组（pf见P157）
平均情况下插入排序需要~N^2/4次比较和~N^2/4次交换
最坏情况下需要~N^2/2次比较和~N^2/2次交换，
最好情况下需要N-1次比较和0次交换。
Mergesort uses at most N lg N compares and 6 N lg N array accesses to sort any array of size N. (pf见P173)
Mergesort uses extra space proportional to N.(The array
aux[]needs to be of size N for the last merge.)Any compare-based sorting algorithm must use at least lg ( N ! ) ~ N lg N compares in the worst-case.(pf见P177)
-
长度为N的无重复数组排序，快速排序平均需要~2N ln N 次比较（以及1/6即1/3 N ln N的交换）
最多需要约N^2/2次比较
最少需要~N lg N 次比较
用下沉操作由N个元素构造堆只需少于2N次比较以及少于N次交换(pf见P206)
将N个元素排序，堆排序只需少于（2NlgN+2N）次比较以及一半次数的交换(pf见P208)
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