4872: [Shoi2017]分手是祝愿

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Description

Zeit und Raum trennen dich und mich.
时空将你我分开。B 君在玩一个游戏，这个游戏由 n 个灯和 n 个开关组成，给定这 n 个灯的初始状态，下标为
从 1 到 n 的正整数。每个灯有两个状态亮和灭，我们用 1 来表示这个灯是亮的，用 0 表示这个灯是灭的，游戏
的目标是使所有灯都灭掉。但是当操作第 i 个开关时，所有编号为 i 的约数（包括 1 和 i）的灯的状态都会被
改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机
操作一个开关，直到所有灯都灭掉。这个策略需要的操作次数很多， B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，
可以通过操作小于等于 k 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个
策略显然小于等于 k 步）操作这些开关。B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 k 步，使
用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 n 的阶乘一定
是整数，所以他只需要知道这个整数对 100003 取模之后的结果。
Input

第一行两个整数 n, k。
接下来一行 n 个整数，每个整数是 0 或者 1，其中第 i 个整数表示第 i 个灯的初始情况。
1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；
Output

输出一行，为操作次数的期望乘以 n 的阶乘对 100003 取模之后的结果。
Sample Input

4 0

0 0 1 1

Sample Output

512
HINT

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

只考虑最优方案而不考虑随机选点的
每次找到编号最大的亮着的灯，把它灭掉
显然这是当前情况的唯一最优解
把每个灯泡写作变量列出一个xor方程组
考虑高斯消元的过程，这样就可以证明解的唯一性
记初始状况还需要 t 步才能达到中止状况
如果按到一个最优解需要按的灯泡，那么转移到 t−1 步
否则，因为解唯一，到达终止状况的方案中一定包含按掉这个灯泡的操作
定义 f[i] 为最优方案还剩 i 步时到达终点的期望步数
显然有 f[i]=inf[n−1]+n−inf[n+1]+1
特别地， f[n]=f[n−1]+1,f[k]=k
那么，每个 f[i] 的值都能用 a∗f[n]+b 的值表示出来
倒着推到 f[k] 解出 f[n] 最后代回去即可

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int maxn = 1E5 + 10;
typedef long long LL;
const LL mo = 100003;

inline int Mul(const LL &x,const LL &y) {return x * y % mo;}
inline int Add(const int &x,const int &y) {return x + y < mo ? x + y : x + y - mo;}
inline int Dec(const int &x,const int &y) {return x - y >= 0 ? x - y : x - y + mo;}

struct data{
    int x,y; data(){}
    data(int x,int y): x(x),y(y){}
    data operator * (const int &t) {return data(Mul(x,t),Mul(y,t));}
    data operator - (const data &B) {return data(Dec(x,B.x),Dec(y,B.y));}
}f[maxn];

int n,k,A[maxn],Inv[maxn],Fac[maxn],g[maxn];

vector<int> v[maxn];

int ksm(int x,int y)
{
    int ret = 1;
    for (; y; y >>= 1)
    {
        if (y & 1) ret = Mul(ret,x);
        x = Mul(x,x);
    }
    return ret;
}

void Pre_Work()
{
    Fac[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) Fac[i] = Mul(Fac[i - 1],i);
    Inv[n] = ksm(Fac[n],mo - 2); for (int i = n - 1; i >= 0; i--) Inv[i] = Mul(Inv[i + 1],i + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) g[i] = Mul(Inv[i],Fac[i - 1]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = i; j <= n; j += i) v[j].push_back(i);
}

inline int getint()
{
    char ch = getchar(); int ret = 0;
    while (ch < '0' || '9' < ch) ch = getchar();
    while ('0' <= ch && ch <= '9')
        ret = ret * 10 + ch - '0',ch = getchar();
    return ret;
}

int main()
{
    #ifdef DMC
        freopen("DMC.txt","r",stdin);
    #endif

    n = getint(); k = getint(); Pre_Work();
    for (int i = 1; i <= n; i++) A[i] = getint();

    f[n] = data(1,0); f[n - 1] = data(1,mo - 1);
    for (int i = n - 2; i >= k; i--)
    {
        f[i] = (f[i + 1] * Mul(n,g[i + 1])) - (f[i + 2] * Mul(n - i - 1,g[i + 1]));
        f[i].y = Dec(f[i].y,Mul(n,g[i + 1]));
    }

    int t = Mul(Dec(k,f[k].y),ksm(f[k].x,mo - 2)),tot = 0;
    for (int i = n; i; i--)
    {
        if (!A[i]) continue; ++tot;
        for (int j = 0; j < v[i].size(); j++)
            A[v[i][j]] ^= 1;
    }
    int Ans = tot <= k ? tot : Add(Mul(f[tot].x,t),f[tot].y);
    for (int i = 1; i <= n; i++) Ans = Mul(Ans,i); cout << Ans << endl;
    return 0;
}