数论前奏-整数和mod

在学数论之前我还是先学一下整数，整数是离散数学的支柱，虽然不懂为什么，但是“前人之鉴 后人之师”，我还是学了一点，找找一些资料吧；

1.底和顶：

底 （FLOORS）:  └X┘= 小于或等于x的最大整数即└X┘<=X；例如：└e┘=2,└-e┘=-3;

顶 （CEILINGS）：┌X┐=大于或等于x的最小整数即┌X┐>=X；例如：┌e┐=3,┌-e┐=-2;   e=2.71828...

其实我们生活中经常用到 "[" "]"   这两个符号来表示：[x]表示小于等于x的最大整数，而对于最小整数函数则没有好的等价符号，所有我们完全可以引用上面的底和顶的符号，反正已经得到国际认可了，又学会了一项装逼的技能是不是；

如果x为整数那么，└X┘=x <=> ┌X┐=x;

对于任何数满足：└-X┘=-└X┘    ┌-X┐=-┌X┐;

对于底函数和顶函数会多用到下面的三个性质：

（a）：└X┘ = n <=> n <= x < n + 1;（n为整数）

（b）：└X┘ = n <=> x - 1 < n <= x;（n为整数）

（c）：┌X┐ = n <=> n - 1 < x <= n;（n为整数）

（d）：┌X┐ = n <=> x <= n < x + 1;（n为整数）

└X + n┘ = └X┘ + n，n为整数；

其实x和└X┘之间的差称为x的分数部分，令{X}=X-└X┘；而└X┘是x的整数部分，那么：X=└X┘+{X}；

对于└X+Y┘一般有两种可能性：如果我们记X=└X┘+{X}，Y=└Y┘+{Y}，那么就有：└X+Y┘=└X┘+└Y┘+└{X}+{Y}┘;

又因为:0<={X}+{Y}<2,我们发现└X+Y┘有时等于└X┘+└Y┘，否则它就等于└X┘+└Y┘+1；

2.底和顶的应用：

(1):从一个简单的问题开始：┌lg50┐等于什么？，由2^5 < 50 <= 2^6，我们可以取对数5 < lg50 <= 6，

所以得知:┌lg50┐=6;

(2):然后再讨论一个问题，┌└X┘┐等于什么？，很容易，因为└X┘是整数，所以┌└X┘┐就是└X┘，同样只要确定最里面的那个底或者顶，外围不管有多少底或者顶 ，这个值都不变，（并且对于对于：┌ sqrt（└X┘）┐这个结果还是一样的等于：sqrt（└X┘）；

mod：二元运算   ‘MOD’：THE BINARY OPERAYION

当m和n是正整数的时候，n被m除的商是└n/m┘。这个除法的余数也有一个简单的记号，称它为“n mod m“。

基本公式：n  =   m*└ n/m ┘  +  n mod m； 于是我们可以将”n mod m“表示成 ”n - m*└ n/m ┘“，实际上这个公式可以推广到任意整数：x mod y = x - y*└ x/y ┘，y ！= 0；

这里举一些整值运算的例子：

                                               5 mod 3 = 5 - 3*└5 / 3┘  =  2

                                               5 mod -3 = 5 - (-3)*└5 /(- 3)┘  =  -1（以前我算这个式子都是算错的）

                                              -5 mod 3 = -5 - 3*└ -5 / 3 ┘  =  1

                                              -5 mod -3 = -5-(-3)*└ -5 / (-3) ┘  =  -2

mod后面的数成为模，至今还没有人给mod前面的数取名。

在模为任意数(当然不能为0)的时候，x mod y的值都介于0和模之间：

                                                                                       0 <= x mod y < y， y > 0；

                                                                                       0 >= x mod y > y， y < 0；

其实我们也可以将{X}写成x mod 1，所以：X = └X┘ + x mod 1；

后面还有很多，可以一些符号我无法表示，所以只能到此为止，我至今还没有遇见类似的题，如果以后遇到，我会再进行补充。