【MATLAB】符号数学计算（七）：符号微积分、符号微分方程求解、符号代数方程求解
一、符号表达式的极限
- limit(F,x,a)：求当
时，符号表达式F的极限。 - limit(F,a)：符号表达式F采用默认自变量（可由函数findsym求得），该函数求F的自变量趋于a时的极限值。
- limit(F)：符号表达式采用默认变量，并以a=0作为自变量的趋近值。
- limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left')：分别求符号表达式的左极限和右极限。
>> syms x
>> f1=sym('(cos(x)+sin(x)-x)/x');
>> limit(f1,x,inf)
ans =
-1
>> limit(f1,x,-inf)
ans =
-1
>> limit(f1,x,0)
ans =
NaN
>> f2=sym('(sin(x)-x)/x')
f2 =
-(x - sin(x))/x
>> limit(f2,x,0,'right')
ans =
0
>> limit(f2,x,0,'left')
ans =
0二、符号表达式的微分
功能函数diff可以完成一元或多元函数任意阶数的微分。
对于自变量的个数多于一个的符号矩阵，微分为Jocabian矩阵，采用功能函数Jacobian实现。
1、diff函数
- diff(S,'v')：将符号“ v ”视作变量，对符号表达式或者符号矩阵求取微分。
- diff(S,n)：将S中的默认变量进行n阶微分运算，其中默认变量可用findsym函数确定。
- diff(S,'v',n)：将符号“ v ”视作变量，对符号表达式或矩阵S进行n阶微分运算。
2、jacobian函数
- R=jacobian(w,v)：其中w是一个符号列向量，v是指定进行变换的变量所组成的行向量。
（第一个参数必须是列向量，第二个参数必须是行向量）
>> syms x y z;
>> f1=sym('exp(x*sin(y))+log(z)');
>> diff(f1,x)
ans =
exp(x*sin(y))*sin(y)
>> diff(f1,y)
ans =
x*exp(x*sin(y))*cos(y)
>> diff(f1,z)
ans =
1/z
>> diff(f1,x,2)
ans =
exp(x*sin(y))*sin(y)^2
>> f2=sym('[x^2+y^2;y*z]')
f2 =
x^2 + y^2
y*z
>> J=jacobian(f2,[x,y])
J =
[ 2*x, 2*y]
[ 0, z]三、符号表达式的积分
- R=int(S)：用默认变量求符号表达式S的不定积分，默认变量可用函数findsym确定。
- R=int(S,v)：用符号标量v作为变量求符号表达式S的不定积分。
- R=int(S,a,b)：符号表达式采用默认变量，该函数求默认变量从a到b时符号表达式S的定积分值。如果S是符号矩阵，那么积分将对各个元素分别进行。
- R=int(S,v,a,b)：用符号标量v作为变量，求当v从a变到b时，符号表达式S的定积分值。
>> syms x y
>> f1=sym('x+x^-1');
>> int(f1)
ans =
log(x) + x^2/2
>> f2=sym('x*y+(x*y)^-1')
f2 =
1/(x*y) + x*y
>> int(f2,y)
ans =
log(y)/x + (x*y^2)/2
>> int(f1,1,2)
ans =
log(2) + 3/2
>> int(f2,y,1,2)
ans =
(3*x)/2 + log(2)/x四、符号表达式的级数求和
- r=symsum(s,a,b)：求符号s表达式中默认变量从a变到b时的有限和。
- symsum(s,v,a,b)：求符号s表达式中变量v从a变到b时的有限和。
>> syms x y n
>> f1=sym('x^2')
f1 =
x^2
>> symsum(f1,0,n-1)
ans =
(n*(2*n - 1)*(n - 1))/6
>> f2=sym('x^n')
f2 =
x^n
>> symsum(f2,n,0,inf)
ans =
piecewise([1 <= x, Inf], [abs(x) < 1, -1/(x - 1)])五、符号表达式的泰勒级数
- r=taylor(f)：f是符号表达式，其变量采用默认变量，该函数返回f在变量等于0处作5阶泰勒展开时的展开式。
- r=taylor(f,n,v)：符号表达式f以符号标量v作为自变量，返回f的n-1阶麦克劳林级数(即在v=0处的泰勒展开)展开式。
- r=taylor(f,n,v,a)：返回符号表达式f在v=a处作n-1阶泰勒展开时的展开式。
>> syms x y
>> f1=sym('sin(x)/(2+sin(x))')
f1 =
sin(x)/(sin(x) + 2)
>> taylor(f1)
ans =
- (13*x^5)/480 + x^4/48 + x^3/24 - x^2/4 + x/2六、符号微分方程求解
函数dsolve用来求常微分方程的符号解。
在方程中用D表示一次微分，用D2、D3分别表示二次、三次微分运算。
D2y表示 
- r=dsolve('eq1,eq2,...','cond1,cond2,...','v')：求由eq1，eq2，...指定的常微分方程的符号解。常微分方程以变量v作为自变量，参数cond1，cond2，...用于指定方程的边界条件或者初始条件。如果v不知道，将默认t为自变量。
- r=dsolve('eq1,eq2’,...,'cond1,cond2‘,...,'v')
七、符号代数方程求解：solve
- g=solve(eq)：其中eq可以是符号表达式或者不带符号的字符串，求解方程eq=0
- g=solve(eq,var)：求解方程eq=0，自变量是var
- g=solve(eq1,eq2,...,eqn)：求解符号表达式或不带符号的字符串eq1,eq2,...,eqn组成的方程组
>> syms x >> f=sym('a*x^2+b*x+c'); >> solve(f) ans = -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) >> syms a x; >> f=sym('a*x^2+b*x+c'); >> solve(f,a) ans = -(c + b*x)/x^2 >> syms x y >> f=sym('x^2+y^2=25'); >> f2=sym('x*y=12'); >> [x,y]=solve(f,f2) x = 4 3 -3 -4 y = 3 4 -4 -3