线性动态规划——洛谷P1052 过河

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入输出格式

输入格式：

输入文件river.in的第一行有一个正整数L（1 <= L <= 10^9），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例：

输入：10                                         输出：2

           2 3 5 

           2 3 5 6 7

       思想大致如下：对于输入的s和t（即青蛙跳跃长度的范围），首先进行特判：若s=t，则青蛙每次只能跳s格，当石子坐标是s的倍数时，就会踩到，此时累加器+1。循环后输出结果即可退出程序。

       接下来就是s!=t的情况：将石子坐标进行从小到大的排序，利用模运算将题目中这条长轴中多余的空格去掉，并记录石子所在位置。随后进行dp：用f[i]表示跳到i坐标时最少踩到的石子数，则i的取值范围是[s,l+t]（因为第一步最少跳s，最后一步可能跳过终点）。枚举i，并且用第二重循环j枚举当前这一步跳出的距离（即[s,t]），状态转移方程为：f[i]=min(f[i],f[i-j]+num[i])，条件为i>=j，其中num[i]表示当前i坐标上是否有石子，若有，则为1，否则为0。最后选出f数组（[l,l+t]）中的最小值即可。

        代码如下：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int mod=105;
int l,n,s,t,ans,a[105],num[1000005],f[1000005];
int main()
{
	int i,j;
	cin>>l>>s>>t>>n;
	for (i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	if (s==t)
	{
		for (i=1;i<=n;i++)
		  if (a[i]%t==0)
		    ans++;
		cout<=j) f[i]=min(f[i],f[i-j]+num[i]);
	ans=(1<<30)-1;
	for (i=l;i<=l+t;i++)
	  ans=min(ans,f[i]);
	cout<