【转】流体动力学控制方程(详细推导)

【转】流体动力学控制方程(详细推导) diyhoos

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CFD建立在流体力学基本控制方程:连续性方程、动量方程、能量方程的基础上。这些方程式任何流动都必须遵守的3个基本物理学原理。这三个方程是这些原理的数学描述:

  1. 质量守恒定律。
  2. 牛顿第二定律。
  3. 能量守恒定律。

      全部CFD都是基于这些方程的,在开展研究之前必须熟悉这些方程。如果不能从物理上理解每一个方程的意义,又怎么指望对数值求解这些方程所得到的结果做出正确的解读呢?接下来就来推导和讨论这些方程。

【转】流体动力学控制方程(详细推导)_第1张图片

一、连续性方程

用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。

设在流场中取一固定不动的微平行六面体(控制体),在直角坐标系oxyz中,六面体的边长取为dx,dy,dz。

【转】流体动力学控制方程(详细推导)_第2张图片

先看x轴方向的流动,流体从ABCD面流入六面体,从EFGH面流出。

在x轴方向流出与流入质量之差

用同样的方法,在y轴和z轴方向上的质量之差为:

这样,在dt时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为:

在dt时间内,六面体的质量减少了

根据质量守恒定律,净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量,则:

这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程

利用散度公式:

得到:

有的文献中用▽表示散度,因此上面式子又可表示为:

上面是连续性方程的偏微分方程形式,它是基于空间位置固定的无穷小微团模型。

二、动量守恒方程

动量守恒定律是任何流动系统都必须满足的定律。

【转】流体动力学控制方程(详细推导)_第3张图片

对上图一个运动流体微团进行分析,就是作用在微团上力的总和等于微团的质量乘以微团的加速度。这是一个向量关系式,我们将其沿x,y,z轴分解成三个标量的关系式。仅考虑其中x方向分量。

流体微团在x方向上受到两种力的作用:体积力和表面力。

  • 体积力:直接作用在流体微团整个体积微团上的力,而且作用是超距离的,比如重力、电场力、磁场力
  • 表面力:直接作用在流体微团的表面。由两种原因引起:1.由包在流体微团周围的流体所施加的,作用于微团表面的压力分布;2.由于外部流体推拉微团而产生的,以摩擦的方式作用于表面的切应力和正应力分布。

将作用在单位质量流体微团上的体积力记作f,其x方向分量为fx。流体微团的体积为dxdydz,所以:

将以上两式相加得到x方向总的力F,得到:

接下来考虑的右边,因为运动的流体微团其质量是固定不变的:

另外,流体微团的加速度就是速度变化的时间变化率,所以加速度得x方向分量,记作ax,直接就等于u的时间变化率,根据物质导数

则粘性流x方向的动量方程为:

同时,根据数学代换可知:

代入可得:

 

这就是纳维-斯托克斯方程的守恒形式(Navier-Stokes方程)

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注:

物质导数D/Dt,在物理上时跟踪一个运动的流体微团的时间变化率,第一项是当地导数,它在物理上是固定点处的时间变化率;后一项是迁移导数,在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点,流场的空间不均匀而引起的时间变化率。物质导数可用于任何流场变量,如ρ、T等

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三、能量方程

能量守恒定律是包含热交换系统必须满足的基本定律。该定律可表述为

微元体中能量的变化率=进入微元体的净热流量+体积力与表面力对微元体所做的功率

或:A=B+C

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先计算C,作用在一个运动物体上的力,对物体做功的功率等于这个力乘以速度在运动方向上的分量,所以作用于速度V的流体微团上的体积力,做功的功率为:

表面力做功的功率为(仅考虑x方向上的表面力):

同样可以类推出y、z方向上的表面力。则C等于

接下来看B,即进入微团内的总热流量。有来自体积加热,如吸收或释放的辐射热;由温度梯度导致的跨过表面的热输送,即热传导。定义q为单位质量的体积加热率,可得到:

将两项加和:

根据傅里叶热传导定律,热传导产生的热流与当地的温度梯度成正比

k为热导率

接下来研究A,运动流体微团的能量,有两个来源:

  1. 由于分子随机运动产生的(单位质量)内能e
  2. 流体微团平动时具有的动能,单位质量的动能为V^2/2

因此,单位质量的总能量变化的时间变化率由物质导数给出:

则能量方程为:

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将方程改写只用e的形式:

【转】流体动力学控制方程(详细推导)_第6张图片

该方程左边只包含内能的物质导数,动能的物质导数和右边的体积力已经去掉。

四、小结

       到目前为止,已经推导出了全部的流体控制方程,熟悉并理解它们的物理意义是绝对必要的。这也是我亲自打出这篇文章的目的所在。

--------------------- 作者:diyhoos 来源:CSDN 原文:https://blog.csdn.net/qq_42020563/article/details/80940387?utm_source=copy 版权声明:本文为博主原创文章,转载请附上博文链接!

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