【流体力学】加和不加湍流模型在NS方程上的体现

之前一直没弄懂为什么很多流化床模拟里面都不去提及的问题。这还是个比较复杂的问题，暂且搁置。但是我们起码要知道：加和不加湍流模型，区别到底体现在哪？这个影响大不大，量级如何？

从工程上来说，我们只要知道这个影响的量级，就可以大致判定可不可以忽略该影响。假如同时存在其他主导规律的时候（比如颗粒对气体的曳力），该影响的量级远远小于曳力的量级，那么就可以放心地忽略该影响。

所以湍流的影响是多大呢？如何估算他的影响的量级呢？

首先，我们必须从CFD计算的NS方程上找源头。也就是说，要知道加不加湍流，在NS方程上的区别。

这里就直接摘抄教科书里的内容了。
所采用的教科书为Versteeg编写的 An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method 第二版
参考章节为3.5节，从第61页开始。

首先写出NS方程。

第一个是连续方程，后三个是分解成xyz三个方向的动量方程。

我们知道，流体在湍流状态下是有无规则的脉动运动的。但是经过时间平均后，会消除这些脉动。如图所示为流体速度随时间变化。

可以将其分解为脉动速度(u‘)和时均速度（U)

上式中，也包含压力的分解。压力也是同理的。

于是将上面分解后的式子代入到NS方程中去。

然后再对他们取时间平均。取平均的方法就是先对时间积分，然后再除以时间。

对于连续方程，时间平均后直接把脉动速度平均没了。于是得到

对于动量方程，先以x方向动量方程为例，对每一项都采取时间平均

这里要注意几点

1. 首先，单独对脉动速度平均，直接就平均没了。 $$\overline{u^{\prime }}=0$$
2. 其次，对平均速度平均，相当于没平均。 $$\overline{U}=U$$
3. 然后，对平均速度和脉动速度平均，可以把U看作常数提出来 $$\overline{U{u}^{\prime }}=U\overline{u^{\prime }}$$
4. 最后，两个脉动速度的乘积的平均，是没法有任何简化的。 $$\begin{gathered} \overline{u^{\prime }{u}^{\prime }}=\overline{u^{\prime }{u}^{\prime }} \\ \overline{u^{\prime }{v}^{\prime }}=\overline{u^{\prime }{v}^{\prime }} \end{gathered}$$

另外，div代表散度，即 $$div(\mathbf{u})=\frac{\partial u}{x}+\frac{\partial v}{y}+\frac{\partial w}{z}$$ grad表示梯度，即 $$div(\mathbf{T})=(\frac{\partial T}{x},\frac{\partial T}{y},\frac{\partial T}{z})$$

于是带入到NS方程中，得到

那么（III)就是额外增加的项，称为雷诺应力。
所以
湍流对NS方程的影响就是附加了一个雷诺应力项！

把它看作一个附加在动量方程的源项，相当于附加了一个额外的作用力。因此通常把它放到右侧和压力以及粘性力并列：

最后那项就是多出来的雷诺应力
这里又把密度提出来了。是因为通常来说密度也是不恒定的，也是一个变量。

所以说，有时候采用密度加权的时间平均，又被称之为favre平均。这个平均用上方小波浪线代替小横线。最后写出来，考虑了湍流之后的NS方程为：