之江学院2017ACM 校赛Problem D: qwb与神奇的序列（找规律 快速幂）

有一个序列，初始时只有两个数x和y，之后每次操作时，在原序列的任意两个相邻数之间插入这两个数的和，得到新序列。举例说明：

初始：1 2
操作1次：1 3 2
操作2次：1 4 3 5 2
……
请问在操作n次之后，得到的序列的所有数之和是多少？

Input

多组测试数据，处理到文件结束（测试例数量<=50000）。

输入为一行三个整数x，y，n，相邻两个数之间用单个空格隔开。（0 <= x <= 1e10, 0 <= y <= 1e10, 1 < n <= 1e10）。

Output

对于每个测试例，输出一个整数，占一行，即最终序列中所有数之和。
如果和超过1e8，则输出低8位。（前导0不输出，直接理解成%1e8）

思路：写几次操作，就会找到一个规律，假设第n次操作后的和为fn， 那么fn+1 = 3*fn - 1;

得到这个递推式就好做了，可以构造矩阵快速幂，也可以求数列的通项公式。

高中的待定系数法：

快速幂写法要注意：

用数列知识 容易算出答案是(3^n+1)/2

本题要求mod1e8，2和1e8不互质，没有逆元

易证 A%B/C=A%（B*C）/C

那在快速幂的时候 %2e8就行了

矩阵快速幂代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e8;
struct node
{
    ll s[3][3];
};
 
node mul(node a, node b)
{
    node t;
    memset(t.s, 0, sizeof(t.s));
    for(int i = 0; i < 3; i++)
        for(int j = 0; j < 3; j++)
            for(int k = 0; k < 3; k++)
                t.s[i][j] = (t.s[i][j]+a.s[i][k]*b.s[k][j])%mod;
    return t;
}
 
node mt_pow(node p, ll k)
{
    node q;
    memset(q.s, 0, sizeof(q.s));
    for(int i = 0; i < 3; i++)
        q.s[i][i] = 1;
    while(k)
    {
        if(k&1) q = mul(p, q);
        p = mul(p, p);
        k /= 2;
    }
    return q;
}
 
int main(void)
{
    ll x, y, n;
    while(~scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &n))
    {
        node base;
        base.s[0][0] = 3; base.s[0][1]  = 0; base.s[0][2] = -1;
        base.s[1][0] = 0; base.s[1][1]  = 3; base.s[1][2] = -1;
        base.s[2][0] = 0; base.s[2][1]  = 0; base.s[2][2] = 1;
        node ans = mt_pow(base, n);
        ll f0 = 1;
        ll f1 = 2;
        ll sum = (x+y)%mod;
        ll res = ((ans.s[0][0]*f0+ans.s[0][1]*f1+ans.s[0][2]+mod)%mod)*sum%mod;
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}