洗牌算法-Fisher–Yates算法为什么好？

最近因为要做一个程序用到洗牌，就去研究了一下洗牌算法。

问题很简单，有一副扑克牌，执行一个算法，打乱他。

简单的问题往往隐藏了重要信息，比如这里的，打乱，什么才叫乱？

首先，设定我们已经拥有了系统提供的random函数，能够提供一个给定范围内的随机数，而且我们假定这个随机过程满足给定范围内的均匀分布。

然后，程序不妨效仿手洗法：

简单粗暴的手洗法是，中间抽一叠，再插回去，重复若干次。

更高级的是电影里面那种，用一些神乎其技的手法，把牌分成两部分，让A部分的每一张牌随机插入B部分的任意两张牌之间。

换言之，以上的方法可以归结为：分开再随机插回，或者简称随机对调。循环多次

那么，这样真的就足够乱吗？

现实的牌，在玩过以后一般会回收继续玩，也就是说，每一次洗的牌是在原本就近乎无序的基础上，再次洗牌，可以认为是伪随机的二次洗牌。

而电脑中的牌游戏，每开局一次，一般都是从deck中new一副新的来用，而deck在编程的时候为了方便，一般是按照花色和点数从小到大整整齐齐的记录下来的——这样方便确认deck的完整性。那么，在这种情况下，每一次洗牌其实是从1-52这种“新牌”手里洗牌。

玩过扑克牌都知道，一副新牌刚拆开，第一局往往存在洗不开的问题，一般都是试玩几局以后才感觉比较“乱”。

而程序一般来说，除非扑克牌有回收机制，比如三国杀中牌组打完了就会回收，然而，在游戏开始的时候，三国杀和大部分的扑克牌游戏，都是不存在回收这一机制的。

（*）当然，我也是简单猜测这些牌类游戏大公司的代码是从简考虑的，不排除存在那种公司为了随机性，事先在数据库中吃饱了没事干做了一大堆洗了多次的牌，玩家开局采用随机调用的方法直接get这种洗好了的牌，另算。

也就是说，用乱序对换模拟现实的洗牌，其“乱”的程度，直观上是不如的。毕竟每一次开局都在洗新牌。

当然，deck到牌堆不用new直接拖过来，而是用random的方法，其实也等价于先new，再random自排序。

那么，到底应该怎么评价乱呢？直观的评价虽然给人感觉上好理解，但是不好作为严格参考。

一个比较靠谱的依据是：概率论。

问题：一副扑克牌有n张，请问其序列能有多少种可能性？每种可能性等价吗？

答案：有n!中可能性，每种可能性等价（每个事件都是独立同分布的，证明略）。

那么，计算机洗牌算法的一种依据就是，洗出来的牌，在概率空间上，要充满这个n！样本空间才算起码的达标，无法充满完全样本空间的洗牌，就会【存在洗不出的序列】，不合格。之前的仿手洗随机插入法最大的设计问题在于次数的，对于真实扑克牌，正常人手洗一般也不会洗50多次吧。。。但是，反过来，试问，一副全新的牌，随机调换任意两张牌（以下把这个过程简称：洗），最少洗多少次以后，就能等价于到这个n！空间呢？

（洗：交换牌组中的当前顺序第x和第y张牌，其中x可以等于y。x和y均为1~n之间的随机整数。）

答案就是牌的张数。

n张牌组成的全新牌堆，洗1次，会得到n种可能的结果；

洗2次，会得到n*(n-1)种结果（减一是因为当第一次和第二次为互逆过程，等于回到最开始，没有新的排列出现）；

洗3次，会得到n*(n-1)*(n-2)种结果；

洗...；

洗洗更健康...；

洗n次，会得到n！种结果，此时，已经完全充满n！的空间，洗更多次，样本空间不扩充。

所以，到这里，可以知道，对于一副新牌，最少只要随机的交换n次，才能在概率的意义上，让洗牌达到足够的“乱”，那么现在问题来了，如何选择一个好的算法？

一个比较容易想到的，简单粗暴的方法是，按照上面的文字，写出这样的伪代码：

...{
    for(int i=0;i<suit.length;i++)
    {
        random1 = Random.next(1,n);
        random2 = Random.next(1,n);
        exchange(suit[random1],suit[random2]);
    }
}...

也就是上面说过的

交换牌组中的当前顺序第x和第y张牌，其中x可以等于y，x和y均为1~n之间的随机整数。

这个算法在设计上能够充满整个样本空间，确实存在n！种可能性，但是不够好。

为什么不够好呢，因为这种算法不能够【确保】照顾到每一张牌。

随机洗牌的随机在于其不确定性，对于n张牌组成的有序排列，经过了n次随机选择，漏掉1只牌从未选过的概率不等于0，而且，随着牌的张数数量增加，这个概率非常可观。

现在就是经典的Fisher–Yates算法登场的时候了。下面给出伪代码：

...{
    for(int i=suit.length-1;i>0;i--)
    {
        random1 = Random.next(1,i);
        exchange(suit[random1],suit[i]);
    }
}...

这个算法和之前的算法最大的不同在于，每一次抽卡的范围在慢慢变小，具体的步骤可以看wiki给出的例子，我就直接照搬过来，源链接：

Fisher–Yates shuffle

这个算法在样本空间上，跟前面简单粗暴的随机抽取一样。充满了n！的样本空间，好在哪里呢？因为它利用了抽卡本身的顺序，【保证照顾】到了每一张原本序列中的卡，而简单粗暴随机抽取存在出现重复位置的可能性，就等于浪费了一次排序的机会，换句话说，其等效抽卡次数因为出现了过去相同的洗法，有效洗牌次数下降，样本空间缩小，无法充满整个n！空间，所以有效性会下降。

而Fisher–Yates算法在原理上保证了不会出现浪费次数，重复选择的情况，导致样本空间一直保持n！，没有坍缩，这就是其在数学意义上优秀的原因。