17年ACM/ICPC亚洲区域赛现场赛乌鲁木齐站(D题和K题）

这次在乌市现场赛的关键题是D和K，就这两个问题来实际探讨一下。
就比赛前一刻，我突然想起前 1到n的平方和 1 到 n 的 平 方 和 ，然后我问东东通向公式是多少，最后我还是想起来，但是没想到，在比赛的时候这两个题还真的用着了。
现在还没有什么在线平台开放这套区域赛的题，所以只能拿自己在现场赛的纸质题目了。
D题：

题目大意就是在一个圆上，在其圆周上放置n个点，问最多可以划分多收个平面。
数据范围 1<=T<=100000,1<=n<=1018 1 <= T <= 100000 , 1 <= n <= 10 18
所以毫无疑问，这就是要推公式的了…
以前在《具体数学》上第一章有讲过类似问题，应该是最简单的那种，在一个无限大的平面上，给你n条直线，请问最多可以划分多少个平面，因为在这本书里断言这种直线划分问题的通向式都是2次的多项式，然而，我用待定系数解了之后发现根本不对，实际上此题的确是多项式，但不是2次，当时可能是太紧张了，发现题给的是点的个数，而不是线的个数。（所以如果是n个点，那么两两点相连，就是 C2n C n 2 了，也就是是 O(n2) O ( n 2 ) 条直线，带到二次里，自然就是4次的多向式了，虽然不太严谨，但是如果当时这样这样做应该也很快做出来了）
那么就找规律看看。
n=1，S1=1 n = 1 ， S 1 = 1
n=2，S2=2 n = 2 ， S 2 = 2
n=3，S3=4 n = 3 ， S 3 = 4
n=4，S4=8 n = 4 ， S 4 = 8
n=5，S5=16 n = 5 ， S 5 = 16
是不是 Sn=2n−1 S n = 2 n − 1 ？,当时代码都写好了，然后东东说验证一下n=6的情况，直接手写画了个圆，一笔一笔画出来hhh，但是 S6=33 S 6 = 33 ，然后又画了一个还是33，看榜单这题wa的人不少，估价的确有可能都用这个公式去做了，所以的确应该不可能是指数项。
后来想了一会，感觉这个应该还是一个多项式式子，但是没办法确定最高次数是多少。那就把相邻两项做差，直到所有数均为0，操作之后，发现可能是3次的多项式，然后就待定系数去解方程了求：

Sn=an3+bn2+cn+d S n = a n 3 + b n 2 + c n + d

，解一个四元四次方程，为了防止出错，然后我和东东同时开始解，但是我们俩怎么算都不一样，而且各自都确认过没有算错。告诉自己要冷静，再从头开始分析，然后再两两相减，发现应该是一个4次多项式才对，那就解吧：

Sn=an4+bn3+cn2+dn+e S n = a n 4 + b n 3 + c n 2 + d n + e

待定系数解一个五元五次方程，计算这种东西我都是力不从心的，然后东东去解了，我就想能不能不找规律，直接推导算了。
假设 Sn+1=Sn+f(n) S n + 1 = S n + f ( n ) ,我就想先确定这个 f(n) f ( n ) 也行啊，发现还是有点思路，假设在原先n个点基础之上，那么新加入一个点，则会产生n条新的直线，这个没什么问题，那么怎么产生新的区域，发现这取决于有多少条直线穿过每个新产生的线段，假设我看第i条线段，那么左边的点数是 i−1 i − 1 ,右边是 n−i n − i ,那么床过这第i条线段是 (i−1)(n−i) ( i − 1 ) ( n − i ) ,也就是说产生 (i−1)(n−i)+1 ( i − 1 ) ( n − i ) + 1 的新的平面
所以这个f(n）应该为：

f(n)=n+∑i=1n(i−1)(n−i) f ( n ) = n + ∑ i = 1 n ( i − 1 ) ( n − i )

那么实质上就是求

f(n)=n+∑i=1n(i−1)(n−i)=n+∑i=1n(in−i2−n+i) f ( n ) = n + ∑ i = 1 n ( i − 1 ) ( n − i ) = n + ∑ i = 1 n ( i n − i 2 − n + i )

关键是求

∑i=1ni2 ∑ i = 1 n i 2

这个自然就等于

(n+1)n(2n+1)6 ( n + 1 ) n ( 2 n + 1 ) 6

所以 f(n)=O(n3) f ( n ) = O ( n 3 ) ，那就证明了 Sn S n 的系数绝对是4次，因为：若 Sn−Sn−1=O(nk),则Sn=O(nk+1) S n − S n − 1 = O ( n k ) , 则 S n = O ( n k + 1 ) ，这个组合数学书上是有的，当时书给了一个如何求解 ∑ni=1ik ∑ i = 1 n i k 的步骤，现在已经忘了。那个时候东东说算出所有5项的系数，除了e，其它系数都是分数，虽然和样例都一样，还是很不太确定，我说一定是4次的，去写吧，我来检查。后来写完，验证了一波之后，点了提交，心里还是有点没底，等待被裁决的感觉太煎熬了，过了一会系统返回了YES了，有点开心诶！1A。佩服东东有耐心解那个方程组。

接下来
K题：

题意：
Tr,c=c,当gcd(r,c)=1,Tr,c=0,otherwise T r , c = c , 当 g c d ( r , c ) = 1 , T r , c = 0 , o t h e r w i s e

Sr,c=∑i=crTr,i S r , c = ∑ i = c r T r , i

求：

Sr=∑i=1rSr,i S r = ∑ i = 1 r S r , i

输入r，输出 Sr S r (1<=t<=10000,1<=r<=108) ( 1 <= t <= 10000 , 1 <= r <= 10 8 )

当时过了D题，我心态好很多，可以看其他题了，当时班在研究K题，其实之前看过K和D，我觉得还是得先做D，K看完感觉很难下手，着实不好做，没有什么思路。而且过的人不多，当时想着又找规律，但是已经有过一道题了，不可能会再出一道，当时还是无进展啊（这题得做了2了个小时了）
但是仔细看了之后感觉有点熟悉，但是也不太确定，是不是莫比乌斯反演啊，也不是说反演，就是需要一些莫比乌斯函数的一些性质，试一试吧。
当时ban帮我把式子化简了，这个也比较关键
则：

ans=∑i=1ni2∗[gcd(i,n)==1?1:0] a n s = ∑ i = 1 n i 2 ∗ [ g c d ( i , n ) == 1 ? 1 : 0 ]

当时卡了一会，然后想到有：

∑d|nμ(d)=1,当n=1,otherwise均为0 ∑ d | n μ ( d ) = 1 , 当 n = 1 , o t h e r w i s e 均 为 0

则：

ans=∑i=1ni2∗∑d|gcd(i,n)μ(d) a n s = ∑ i = 1 n i 2 ∗ ∑ d | g c d ( i , n ) μ ( d )

（莫比乌斯函数的这种用法也算是一种常规套路了）
推得：

ans=∑d=1nμ(d)∗∑d|ii<=ni2 a n s = ∑ d = 1 n μ ( d ) ∗ ∑ d | i i <= n i 2

设 i=dk i = d k ,则：

ans=∑d=1nμ(d)∗d2∑k=1ndk2 a n s = ∑ d = 1 n μ ( d ) ∗ d 2 ∑ k = 1 n d k 2

这里就又是

∑k=1ndk2 ∑ k = 1 n d k 2

求和，这里我是有公式在 O(1) O ( 1 ) 时间求得，所以只要预处理莫比乌斯函数，然后再通过 O(N) O ( N ) 时间处理，即可求得答案。但是推导的时候犯了一个致命错误，当时竟然也没有发现，若 d|gcd(i,n),则d|i并且d|n d | g c d ( i , n ) , 则 d | i 并 且 d | n ，则：

ans=∑d|nnμ(d)∗d2∑k=1ndk2 a n s = ∑ d | n n μ ( d ) ∗ d 2 ∑ k = 1 n d k 2

当时有点开心，以为是做出来了，直接开始找模板开始写莫比乌斯函数的模板，写完以后，我在看了一下数据范围，发现原来n可以到 108 10 8 ，肯定要超时的…当时陷在这个框里走不出了，觉得就应该是这样做的才对，真想不到还有其他什么思路，当时一直也没有发现这个错误。
过了很长时间，之前东东说能不能把一些gcd不是1的筛掉，这个我在之前一直没怎么仔细想，感觉想到了一些东西，假设n为6，那么2，3，6都是没有贡献的，是因为gcd不为1，那么实际上这个应该和n的性质有关，这个就是质数，也就是所有n的质因子，是容斥原理噢。
先筛出所有n的素因子，然后再容斥答案，n的范围当时极端情况不会超过10个，也就是2的10次方，10000个样例应该完全可以应付
所以：
设：g(n)=1+22+32+...+n2 设 ： g ( n ) = 1 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2

ans=∑d|nnμ(d)∗d2∗g(nd) a n s = ∑ d | n n μ ( d ) ∗ d 2 ∗ g ( n d )

这用 μ(n) μ ( n ) 函数是方便描述，实际只要用状态压缩去枚举组合即可了
因为 μ(n) μ ( n ) 函数大多是为0。
最后写完代码了以后，过了样例交了一发，竟然re了，实在想不明白，然后检查了好长时间的代码，一直不敢交，就是增大了筛素数的范围，好像也没有其他什么改动，后来说直接交了，过了一会返回了YES，莫名其妙，至今都不知道第一发为什么错了，不过好歹还是过了，激动。
做完这题已经过去4个多小时，最后我的另外两个队友去研究C题了，我就找其他可以做的题，刚好离比赛快结束了，完成了C题的代码，我说交吧，反正也没时间了，结果是NO，意料之中，如果之前的题做快一点可以还有时间调试一下，不过似乎5题都铜了，也无所谓啦，最后5个小时的比赛就这样结束了。

这个终于是告一段落了，去迎接下一个挑战吧。