POJ3604 Professor Ben[线性筛/暴力]

Professor Ben

  POJ - 3604

 

题意:

给 T 组数据，每组数据含有一个 n，让你求出(d(x)是指 x 的因子个数)

题解:

一看到题目，我们会比较倾向于这样的打表。

void initial()
{
    sum[1]=1;
    for (int i=2 ; i

然而返回结果，却是一直的TLE，那么显然这样的打表，是行不通的。

我们要更换一下思路，既然这样打表行不通，那么O(n)的线性筛呢?

我们先单独看 只有素因子的数的因子数情况。

例如 4  那么答案是    其中 1 是因子 1 的因子个数，2 是因子 2 的因子个数，3 是因子 4 的因子个数。

可以很容易发现，如果单独是一个素因子构成的数，分解成只有素因子组成的形式，

那么它的结果应该是

再扩展到含有其他素因子组成的数，即这种。

关键就在于，这样子是否成立。我们暂时忽略掉三次方。

实际上，这式子就是算出 当前被分解的这个数 N 的所有因子数的因子个数的和。

其实这式子，更像是单独求 N 的约数个数这样是把全部因子的权值变为1。

而题目要求的是要知道全部因子数的因子个数，所以给他们附上一定的权值 (自己觉得这里讲的有点牵强，可能需要自己理解一下)。

而根据组合来说，就可以很容易说明这式子的合法性。[实在觉得没办法理解合法性，自己手动写几个例如 12 啊 等等之类的合数，然后数学归纳法归纳一下。]

这个式子是成立的话，那么我们就可以用线性筛来打表了，因为我们 每次只需要知道最小素因子的个数，就可以打表了，跟约数个数是一个原理。证明我之前有一篇写线性筛的博客证明过，就不在这里证明了，有兴趣的可以自己找来看看 (OTL本渣渣写的还可能有错误呢，如果发现错误，麻烦帮忙指出来)  线性筛 [约数个数/约数和]

接下来还要处理三次方的问题。

先推荐这篇博客。有一个式子可以求出幂和的，即求

http://blog.miskcoo.com/2014/09/power-sum

有了这个式子，我们可以直接推导出 就是等于 

不想直接打表得到结果的，完全可以先筛全部素数，然后暴力分解 N，然后再用上面的式子得到答案。

====================================================================

这些小细节都知道怎么处理了，我们就可以开始打表了。

下面的各种情况，其实跟打约数个数跟约数和的情况是一直的，了解的话，完全可以自己知道式子就能打出来。因为之前写过一篇线性筛的博客，就懒得写的那么详细了。

sum[i]就是 i 的结果

num[i]就是 i 的最小素因子的个数

① n 是素数

那么结果显然是就是 (1+8) 就是说只有自己本身跟 1 这两个因子数，而本身的因子个数为 2。

记录下最小素因子个数。

sum[i]=1+8;

num[i]=1;

② i % prim[j] != 0

因为前面  i 中不存在 prim[j] 这个素因子，但是 i*prim[j] 中存在 prim[j] 这个素因子。

因此结果应该是 sum[i*prim[j]] = sum[i]*sum[prim[j]]

记录下当前最小素因子个数 num[i*prim[j]] = 1 

(因为每次扫的必然是最小素因子，至于为什么，本身线性筛就是被最小素因子筛出来的)

③ i % prim[j] == 0

而这种情况，i 中包含了 prim[j] 这个素因子，意味着在最小素因子的那一项，会多了一项

即成了

原本的 i 应该是

那么为了得到 i*prim[j] 的结果

我们需要 将 sum[i] /  * 

那么就需要用到我们之前记录下的最小素因子个数，来得到这个结果。

最后结果 sum[i*prim[j]] = sum[i] / s3(num[i]+1) * s3(num[i]+2)  [s3 是用来求的函数]

继续记录下最小素因子个数 num[i*prim[j]] = num[i] + 1

打表结束，我们就可以得到我们需要的答案了。

要说明一下，这个题的内存卡的有点严，如果再开一个数组就会 MLE 所以我没有直接再开一个数组来保存最小素因子那一项的和，而是直接用公式求出。

[OTL 再一次知道线性筛的厉害啊]

打表

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include
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暴力分解

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
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