HMM学习最佳范例七：前向-后向算法4

七、前向-后向算法(Forward-backward algorithm)

隐马尔科夫模型（HMM）的三个基本问题中，第三个HMM参数学习的问题是最难的，因为对于给定的观察序列O，没有任何一种方法可以精确地找到一组最优的隐马尔科夫模型参数（A、B、pi）使P(O|lamda)最大。因而，学者们退而求其次，不能使P(O|lamda)全局最优，就寻求使其局部最优（最大化）的解决方法，而前向-后向算法（又称之为Baum-Welch算法）就成了隐马尔科夫模型学习问题的一种替代（近似）解决方法。
　　我们首先定义两个变量。给定观察序列O及隐马尔科夫模型lamda，定义t时刻位于隐藏状态Si的概率变量为：

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　　回顾一下第二节中关于前向变量at(i)及后向变量Bt(i)的定义，我们可以很容易地将上式用前向、后向变量表示为：

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其中分母的作用是确保：

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　给定观察序列O及隐马尔科夫模型lamda，定义t时刻位于隐藏状态Si及t+1时刻位于隐藏状态Sj的概率变量为：

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　　该变量在网格中所代表的关系如下图所示：

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　　同样，该变量也可以由前向、后向变量表示：

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　　而上述定义的两个变量间也存在着如下关系：

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如果对于时间轴t上的所有

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相加，我们可以得到一个总和，它可以被解释为从其他隐藏状态访问Si的期望值（网格中的所有时间的期望），或者，如果我们求和时不包括时间轴上的t=T时刻，那么它可以被解释为从隐藏状态Si出发的状态转移期望值。相似地，如果对

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在时间轴t上求和（从t=1到t=T-1），那么该和可以被解释为从状态Si到状态Sj的状态转移期望值。即：

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