B-tree（多路搜索树，并不是二叉的）是一种常见的数据结构。使用B-tree结构可以显著减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。B通常认为是Balance的简称。这个数据结构一般用于数据库的索引，综合效率较高。目前很多数据库产品的索引都是基于B+tree结构。MySQL也采用B+tree,它是B-tree的一个变种，其实特性基本上差不多，理解了B-tree也就懂了B+tree。

  • 一颗M阶B-Tree具有的特性

  1. 根结点的孩子数>=2(前提是树高度大于1)

  2. 除根结点与叶子结点，其他结点的孩子数为[ceil(m/2),m]个。ceil函数表示上取整数

  3. 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不存储数据。

  4. 各个结点包含n个关键字信息：(P0,K1,P1,K2,P2......Kn,Pn)

      其中：

        4.1 Ki(i=1,2......n)为关键字，且K(i-1)

        4.2 关键字的个数n必须满足：[ceil(m/2)-1,m-1]

        4.3 Pi指向子树，且指针P(i-1)所指向的子树结点中所有关键字均小于Ki。即：父结点中任何关键字的左孩子都小于它，右孩子大于它。

  • B-Tree插入操作


  1. 插入新元素，如果叶子结点空间足够，则插入其中，遵循从小到大排序；

  2. 如果该结点空间满了，进行分裂。将该结点中一半关键字分裂到新结点中，中间关键字上移到父结点中。

  • 例子

将下面数字插入到一棵5阶B-Tree中：[3,14,7,1,8,5,11,17,13,6,23,12,20,26,4,16,18,24,25,19]

首先根据B-Tree特性知道，每个结点的关键字数量范围是:   2<=n<=4

【第一步】：插入3,14,7,1

到这里，第一个结点中关键字数量刚好满了。

【第二步】：插入8

由于8是大于7的，故应该插入右子树，一个结点中最多存储4个关键字，按照插入规则，将中间关键字7上移形成父结点，其他按照50%分裂成两个结点，如上图。

第三步】：插入5,11,17

由于5小于7，插入左子树，11,17大于7,插入右子树。叶子结点没有满4个关键字，故可以直接插入5,11,17

【第四步】：插入13

 

13大于7，应该插入右子树结点中，由于该结点中满4个关键字了，需要进行分裂。13刚好是中间关键字，上移到父结点中；其他按照50%分裂成两个结点。

【第五步】：插入6,23,12,20

 

以上几个数字按照规则直接插入即可，无需分裂操作。

【第六步】：插入26

 

由于26大于13，应该插入13的右子树结点中，但是该结点已经满了，需要分裂，将中间20上移到父结点中，其他按照50%分裂成两个结点。

【第七步】：插入4

 

由于4小于7，应该插入7的左结点中，但该结点满了，需要进行分裂，将中间关键字4上移到父结点中，其他按照50%分裂成两个结点。

【第八步】：插入16，18，24，25

以上4个数字按大小直接插入到相应位置即可，无需分裂操作。

【第九步】：插入19

 

插入19，需要放到18的后面，但是由于该结点已满，需要分裂操作，将中间关键字17上移到父结点中，其它按照50%分裂成14，16以及18，19两个结点；

别以为到这就结束了，再看17被上移到父结点中，由于父结点已经满了，所以这时对父结点进行分裂，将中间关键字13上移形成新的父结点，其他按照50%分裂成4，7和17，20两个结点，到此，数据插入全部完成，形成了一棵B-Tree。

  • 删除操作

  1. 查找B-tree中需删除的元素,如果该元素在B-tree中存在，则将该元素在其结点中进行删除。

  2. 删除该元素后，判断该元素是否有左右孩子结点，如果有，则上移孩子结点中的相近元素到父节点中（相近元素指的是：刚被删除元素的相邻后继元素，比如删除D，相近元素就是F等）

  3. 然后接着判断：如果结点中元素个数小于ceil(m/2)-1，首先找其相邻兄弟结点元素是否足够（结点中元素个数大于ceil(m/2)-1），如果足够，向父节点借一个元素，同时将借的元素的孩子结点中相邻后继元素上移到父结点中；如果其相邻兄弟都不够，即借完之后其结点元素个数小于ceil(m/2)-1，那进行合并，具体是：将父结点中元素下移到要合并结点中（该元素一般是位于两个合并结点的中间元素），然后进行合并。

  4. 以上操作按顺序进行递归执行

 

 总之，对于索引文件，无论是插入还是删除B-Tree结点，不断地分裂和合并结点来维持B-Tree结构是非常昂贵的操作。


  • B+tree介绍

MySQL索引采用B+Tree，它是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树，他们的差异在于：

   1） 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

2） B+树父结点中的记录，存储的是下层子树中的最小值；
3） 所有叶子结点通过一个链指针相连；
4） 所有关键字都在叶子结点出现；

如，下面是一棵典型的B+tree（假设每个结点最多有4个关键字）　　

其他特性与操作与B-tree基本相同。到此，B-tree和B+tree基础知识已经了解了，下面的内容都是基于以上的概念。