背包问题总结
在笔试的时候碰到了这个背包问题，是第一次做，因此在这里把相关的问题都总结在这里。
参考大神的代码，链接如下：https://blog.csdn.net/lanyu_01/article/details/79815801
https://blog.csdn.net/na_beginning/article/details/62884939
在这写一下java中的输出语句，在线笔试的时候连输出语句都不会写。。。。
System.out.println(); //输出完后不换行
System.out.print(); //输出后进行换行
一 .0-1背包问题
类似问题描述如下：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，每件物品数量只有一个，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？（假设N表示物品的总个数，V表示背包的总容量）
特点：对于0-1背包问题，每一件物品要么使用要么不使用。
（1）求出最大价值和的问题
利用动态规划求最优值的方法。假设用dp[i][j]来存储中间状态值(0
假设我们已经求出前i-1件物品装入容量j的背包的价值总和最大值为dp[i-1][j],固定容量j的值不变，则对第i件物品的装法讨论如下：
首先第i件物品的重量weight[i]必须小于等于容量j才行，即
1、若weight[i-1]>j,则第i件物品肯定不能装入容量为j的背包，此时dp[i][j]=dp[i-1][j]
2、若weight[i]<=j,则首先明确的是这件物品是可以装入容量为j的背包的，那么如果我们将该物品装入，则有
dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]
随之而来的问题是我们要判断第i件物品装到容量为j的背包后,背包内的总价值是否是最大？其实很好判断，即如果装了第i件物品后的总价值dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]>没装之前的总价值最大值dp[i-1][j]，则肯是最大的；反之则说明第i件物品不必装入容量为j的背包(装了之后总价值反而变小，那么肯定就不需要装嘛)
故，状态转移方程如下：
dp[i][j] =Math.max(dp[i-1][j], (dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]))
注意：这里的前i件物品是给定次序的
(2)求出背包中装入物品的编号
这里我们采用逆推的思路来处理，如果对于dp[i][j]>dp[i-1][j]，则说明第i个物品肯定被放入了背包，此时我们再考察dp[i-1][j-weight[i]]的编号就可以了。
代码：
public static String ZeroOnePack(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//初始化动态规划数组
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i
//由于weight和value数组下标都是从0开始,故注意第i个物品的重量为weight[i-1],价值为value[i-1]
if(weight[i-1] > j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
}
}
//则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][V];
//逆推找出装入背包的所有商品的编号
int j=V;
String numStr="";
for(int i=N;i>0;i--){
//若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
if(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
numStr = i+" "+numStr;
j=j-weight[i-1];
}
if(j==0)
break;
}
return numStr;
}
以下是一个背包问题的优化解法：
public static void ZeroOnePack2(int V,int N,int[] weight,int[] value){
//动态规划
int[] dp = new int[V+1];
for(int i=1;i
for(int j=V;j>=weight[i-1];j--){
dp[j] = Math.max(dp[j-weight[i-1]]+value[i-1],dp[j]);
}
}
System.out.print( dp[V]);
}
二 完全背包问题
类似问题描述：完全背包问题描述：有编号分别为a,b,c,d的四件物品，它们的重量分别是2,3,4,7，它们的价值分别是1,3,5,9，每件物品数量无限个，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
特点：是物品的使用次数不限制，类似于每件物品的数量有无限个。
public class Park1 {
/**
* 完全背包问题
* @param weight 物品重量
* @param value 物品价值
* N指的是物品的总数，V指的是背包的总容量
* @return
*/
public static void Pack1(int total,int[] weight,int[] value) {
int N=weight.length;
int[][] dp = new int[N+1][total+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-weight[i-1]]+value[i-1]);
}
}
//则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][total];
System.out.println(maxValue);
String res="";
int j=total;
for(int i=N;i>0;i--){
//若果dp[i][j]>dp[i-1][j],这说明第i件物品是放入背包的
while(dp[i][j]>dp[i-1][j]){
// System.out.print(i);
res=res+i+" ";
j=j-weight[i-1];
}
if(j==0)
break;
}
System.out.print(res);
}
public static void Pack2(int total,int[] weight,int[] value) {
int length=weight.length;
int[] dp = new int[total+1];
for(int i=1;i 三 多重背包问题
类似问题描述：多重背包问题描述：有编号分别为a,b,c的三件物品，它们的重量分别是1，2，2，它们的价值分别是6，10，20，他们的数目分别是10，5，2，现在给你个承重为 8 的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
特点：多重背包问题中，物品的数量是有限制的，不是只有一个也不是无限个。
代码：
public class Park2 {
/**
* 多重背包
*
* @param
*/
public static void manyPack(int total,int[] weight,int[] value,int[] num){
//初始化动态规划数组
int N=weight.length;
int V=total;
int[][] dp = new int[N+1][V+1];
//为了便于理解,将dp[i][0]和dp[0][j]均置为0，从1开始计算
for(int i=1;i j)
dp[i][j] = dp[i-1][j];
else{
//考虑物品的件数限制
int maxV = Math.min(num[i-1],j/weight[i-1]);
for(int k=0;k{
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*weight[i-1]]+k*value[i-1]);
}
}
}
}
//则容量为V的背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][V];
int j=V;
System.out.println(maxValue);
}
public static void main(String args[]){
int total=8;
int[]weight={1,2,2};
int[]value={6,10,20};
int[]num={10,5,2};
manyPack(total,weight,value,num);
}
}