倍增lca学习笔记（codevs2370小机房的树题解）

lca即为最近公共祖先，求两个点的lca有两种方法，一是暴力求解，二是倍增求解。
这里主要讲倍增求解lca，时间复杂度nlogn。
主要思想：
首先用一个数组anc[u][i]表示从u节点跳2^i步到得位置，deep[]表示深度
关于anc数组有一个递推公式：anc[u][i] = anc[anc[u][i-1]][i-1]; 这个公式就是先从u点跳2^i-1步再从anc[u][i-1]这个位置跳2^i-1步到达跳2^i的位置。假如树边上有权值的话，我们算dis[u->v]的权值可以用到lca，即dis[u->v]=dis[u]+dis[v]-2*dis[lca(u,v)]。预处理anc时是anc[u][0] = fa(父节点)。OK,找lca时首先让两个节点到达同一深度，先使u处在较深的地方，算出u，v的高度差d，把d转换成二进制，假如是0101，那么就需要u往上跳2^0+2^2步，所以这里用到位运算：if（dd&(1< < i))
就是如果d的i位是1，就跳2^i步，记得i是从0开始的，等跳到和v同一深度以后，在和V一起往上跳，这时候我们刚开始要跳的远一点，如果超出了就不跳，如果没超出并且也不是到达公共祖先就跳，这样跳到最后，u和v一定是最近公共祖先的左右两个子节点，这时候他们的lca就是他们的父节点。
以小机房的树为例，代码如下

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int MAXN = 50000+5;
int head[MAXN],tot,dis[MAXN],anc[MAXN][21],deep[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct Edge
{
    int from,to,cos,nxt;
}e[MAXN <<2];
void build(int f,int t,int d)
{
    e[++tot] = (Edge){f,t,d};
    e[tot].nxt = head[f];
    head[f] = tot;
}
void dfs(int u)
{
    vis[u] = 1;//由于是建的是双向边，这里一定要做标记 
    for(int i = 1; i <= 20; i ++)
    {
        anc[u][i] = anc[anc[u][i-1]][i-1];//递推式 
    }
    for(int i = head[u]; i ; i = e[i].nxt)//遍历边 
    {
        int t = e[i].to ;
        if(vis[t]) //如果处理过这条边就不再处理 
        continue;
        anc[t][0] = u;//下一个点的父亲节点是该点 
        deep[t] = deep[u]+1; 
        dis[t] = dis[u]+e[i].cos;//更新权值 
        dfs(t);
    }
}
int lca(int u,int v)
{
    if(deep[u] < deep[v])//将u变成较深的那个点 
    swap(u,v);
    int dd = deep[u] - deep[v];
    for(int i = 0;i <= 20; i ++)
    if(dd&(1<//跳到与v同一深度 
    for(int i = 20 ; i >= 0 ; i --)
    {
        if(anc[u][i] != anc[v][i])//一同往上跳 
        {
            u = anc[u][i];
            v = anc[v][i];
        }
    }
    if(u == v)
    return u;
    else
    return anc[u][0];//返回它们的父节点即lca 
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d",&n);
    int u,v,c;
    for(int i = 1; i <= n-1; i ++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
        build(u,v,c);
        build(v,u,c);
        anc[u][0] = v;//预处理跳2^0步即跳到父节点 
        anc[v][0] = u;
    }
    dis[0]=0;
    dfs(0);
    scanf("%d",&m);
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        printf("%d\n",dis[u]+dis[v] - 2*dis[lca(u,v)]);
    }
    return 0;
}