图像检索----迭代量化（Iterative Quantization）理解

一.目标

数据集为：，每个样本为d维，每个样本为一个行向量。假设所有样本都是0均值的，即满足一下条件：

通过c个函数把每个样本x映射到一个二进制超立方体的一个顶点上，其中是一个列向量。因此得到每个样本x在二进制超立方体上的二进制编码，编码长度c，用矩阵表示描述这个过程就是：

其中sgn函数是对矩阵的元素级操作，得到的是同样大小的矩阵。ITQ的目标就是学习一个编码矩阵：。

二.算法推导过程

在应用ITQ算法之前要对数据做PCA降维，把数据从d维降到c维，编码时编码长度就是c维。

什么样的二进制编码才是好的编码呢？所有位（总共c位编码）上编码的结果要满足编码为-1（实际上使用的是0而不是-1）和1的样本数相等且各位上编码应该是不相关的（否则出现编码冗余了）。而编码0和1的样本数相等等价于编码值的方差最大。即：

但是上式中含有sng(xw)函数不好处理，于是采用一种signed magnitude relaxation技术，将上式化为：

这样就讲一个离散的目标函数转化为一个连续的目标函数。这个式子跟PCA的目标式很像。就是样本的协方差矩阵。因此，要找到协方差矩阵的前c个特征值对应的特征向量作为W。

另外，假设实数空间中一个点v是样本点x乘以W投影后得到的投影空间中一个点，在欧式距离的测度下，v到超平面立方体上最近的点就是超立方体的一个顶点。因此，二值量化的目标函数是最小化这个距离。于是使用等式替换V=XW，sgn(V)=B，二值量化误差目标式可以化为：

由于迹具有性质，因此如果W是（1）的解，那么WR也是（1）的解。于是目标式可以变为：

目标式中使用的是F范数，即矩阵各元素的平方和再开根号。

但是Jegou et al发现不使用正交矩阵R，而仅仅使用一个随机旋转矩阵R也取得了很好的结果，而找一个随机旋转矩阵R要比找正交矩阵简单得多。

三.推导步骤

1.降维。

在上述推导的指导下，先将数据从d维降到c维，然后使用RR（random rotate）方法找个旋转矩阵R，大小为c*c（实际中可以先随机生成一个矩阵，然后做SVD分解，用S作为旋转矩阵），右乘到降维后的数据V，最小化目标式（2）求得一个粗糙解。下面开始应用ITQ算法迭代新R，使得目标式(2)的值减少。

2.固定R，更新B。

从上面可以看到最小化(3)式等价于最大化，其中 。当时更新，否则更新为0。

3.固定B，更新R。

当B固定时求解这个（2）目标式的最小值就是一个Orthogonal Procrustes problem。于是，先对矩阵做SVD分解为，更新R使得。

4）分支判断。

迭代次数是否达到50次，如果没有，则回到第2步；如果达到了，就结束循环。计算最后得到的编码就是sgn(XWR)，大小为n*c。

参考文献:
1.Gong Y, Lazebnik S. Iterative quantization: A procrustean approach to learning binary codes[C]//Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR), 2011 IEEE Conference on. IEEE, 2011: 817-824.

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