中点画线算法（计算机图形学）

0.画线算法

0.DDA（digital differential analyzer）

A.基本原理

画线时，会给出两个端点（x0,y0），（xend,yend）据此计算出斜率m，然后

从（x0,y0）开始x方向按1递增，y值按上计算，直至xi=xend。这里之所以使用上式，而不直接使用y=m*x+b计算，应该是因为上式少一次乘法运算速度更快吧。计算得到的y若不是整数，则四舍五入处理。

另外：

当m小于1时，x为主变量，x加1递增，y按上式计算；当m大于1时，y为主变量，y加1递增，x按上式计算。不知道为什么要这么做，应该是为了统一规则吧。

B.伪码

void lineDDA(int x0,int y0,int xend,int yend)
{
	int dx=xend-x0;
	int dy=yend-y0;
	int x=x0;
	int y=y0;
	int step=abs(dx)>abs(dy)?abs(dx):abs(dy);
	float incrementx=(float)dx/step;
	float incrementy=(float)dy/step;
	SetPixel(round(x),round(y));
	for(int i=0;i

C.缺陷

由于上一个点的坐标值会影响到下一个点的坐标值，不断的对坐标值取整（即使是四舍五入）也会使得整条线偏离理想直线（这个误差是积累的）。另外四舍五入取整比较耗时（这个不知如何证明）。

1.中点bresenham

相对于DDA而言：同样取值是四舍五入（理想直线点大于中点取大的，小于中点取小的），不同的是决策的式子不再是round函数，这样计算耗时相对较小；还有就是中点bresenham的每个点是理想直线点与中点比较取得近似值，它的误差不会积累，而DDA上点的值会影响到下点的值，误差会积累。

A.基本原理

B.中点bresenham画线算法基本思路

//假设该线段位于第一象限内，且斜率为0~1之间（决定了主方向为x），设起点为(x0,y0)，终点为(xend,yend) 
//根据对称性，可推导致全象限内线段
//线段为y=kx+1 
//相邻的下一点坐标不是(xi+1,yi+1)，就是(xi+1,yi) 
1.画起点(x0,y0).
2.准备画下一个点。横坐标增1，判断如果到达终点，则完成。否则： 
	2.1直线(y=kx+1) 与直线(x=xi+1)的交点A (xi+1,k*(xi+1)+1)的纵坐标大于M (xi+1,yi+0.5)的纵坐标，则下一点为(xi+1,yi+1)
	2.2否则下一点为(xi+1,yi) 
3.画点
4.跳回第2步
5.结束 

C.递推

D.伪码

void Bresenham(Node vstart,Node vend)
{
	double k=(vend.y-vstart.y)/(vend.x-vstart.x);
	double d=k-0.5;//赋初值
	int x=vstart.x;
	int y=vstart.y;
	DrawPixel(x,y);//画点 
	while(x!=vend.x)
	{
		x++;
		if(d>=0)//A-M>0，交点距离上面的点更近，A-M=0时，当然希望更快的接近终点，故选上面的点 
		{
			y++;//选择上面的点
			d=d+k-1//下下个要画的判断依据。点A与终点M的差距 
		} 
		else//A-M<0，交点距离下面的点更近 
		{
			d=d+k;
		} 
		DrawPixel(x,y);
	}
}

2.并行画线算法

np个处理器，将原本的直线分成np段，每段执行bresenham画线算法。其中每段的段长（除却最后一段）：（xend-x0+(np-1)）/np，此处之所以要加上(np-1)，是为了保证，除完之后的  段长 * 段数 <= xend - x0。根据段长计算出每段的起终点，然后就可以按照bresenham算法画线了。

1.圆生成算法

0.基本画法

绘制等距点，等距点之间以线段链接，逼近正圆。通常会使用圆的对称性来减少三角函数的使用，用以加快绘制速度。

1.中点画圆算法

与基本画法的区别：可以采用增量方式判断和求得点坐标，无需使用三角函数和四舍五入的round函数，增加了计算速度。

A.基本思路

B.步骤

//输入半径r和圆心(xc,yc)，并得到圆周上的第一个点(x0,y0)=(0,r)（先计算圆心为0,0的八分之一的圆弧的点，再利用对称性计算其他八点，再移过去）
//计算决策参数初始值为 p0=5/4-r
//在每一个xk为止，从k=0开始测试，
//////////若pk<0，则圆心在0,0的圆的下一个点为(x[k+1],y[k])，p[k+1]=p[k]+2x[k+1]+1
//////////否则，下一个点为(x[k+1],y[k]-1)，并且p[k+1]=p[k]+2x[k+1]+1-2y[k+1]，其中x[k+1]=x[k]+1,y[k+1]=y[k]-1
//利用计算其他八个圆弧的对称点
//移到圆心(xc,yc)的圆上
//重复循环，直至x>=y 

C.各项证明

2.椭圆生成算法

A.椭圆特性

B.基本原理

基本原理跟生成圆一样，都是想要生成一个可以增量的决策式，希望通过迭代加减乘除来代替三角运算或者开根号等复杂运算，同时希望这个加减乘除又不会积累误差，导致图形严重偏离理想椭圆。

中点的画法，本质还是四舍五入，做法和生成圆一样，生成函数判别式f，通过f的值的符号判断取哪个点，自增1的那个变量由斜率k来判断（其实只要同一形式就行？）。

C.并行曲线画法

和并行直线画法相似，不再赘述

3..以上画线算法学习心得

1.以斜率k为判断决定一边自增1的变量（x或y）。

2.寻找可以叠加的判断式（决策式）用以代替四舍五入函数来选择点（增加运算速度）。一般  f  = 现实点（x（或y）自增1，y（或x）先维持不动）-  理想点，或其的其他变形（如椭圆和圆的决策式）。

3.得出位置。