Noip模拟2 2018/10/18

T1:Matrix
小z 的女朋友送给小z 一个$n\times n$的矩阵。但是矩阵实在太大了，小z 的女朋友拿不动，只能带给他两个长度为n 的整数序列l,t，分别作为矩阵F的第一行和第一列（保证 $l1=t1$)，并且告诉小z 矩阵可以通过如下方式得到：$F(i,j)=a\ast F(i,j-1)+b\ast F(i-1,j)$
现在小z 猜到了系数a,b，他想要计算$F(n,n)$模$10^9+7$的值。

忽然想不起从$(0,0)$到$(n,m)$的路径数了，数组开小……
对于一个$l[i]$，通过大力推式子可以发现一定会乘上$a^{n-1}\ast b^{n-i}$
对于$t[i]$，则一定会乘上$a^{n-i}\ast b^{n-1}$
然后考虑对于每一个值，会对答案造成多少贡献
可以发现，每一个值的贡献次数就是这个位置到$(n,n)$的路径数
以该位置为起点，那么就是从$(0,0)$到$(n-1,n-i)$，但是第一步是固定的
那么就成了从$(0,0)$到$(n-1,n-i-1)$
类似蚂蚁路径，方案数为$C(2\ast n-i-2,n-2)$即为对答案的贡献次数

T2：pq
小q 的女朋友送给小q n个整数。但是这些数太大了，小q 的女朋友拿不动，于是拜托小q把这些数减少一些。
小q 每次可以选择其中的两个x,y (不能同时选择同一个数) 变成x−P,y−Q，现在他希望能知道最多能帮女朋友减掉多少P,Q。

设$f[i][j][k]$表示处理到第$i$个数，还有$j$个$P$，$k$个$Q$没处理，存的是已经处理的个数
可以发现，如果$P$的个数为$0$，那么$Q$的个数的最大值不会超过$2000$
如果$Q$的个数为$0$，那么$P$的个数的最大值不会超过$2000$
如果都不为零，那么$P,Q$的个数都不会超过$40$
根据这个性质，我们可以暴力把$s[i]$拆成$x$个$P$，$y$个$Q$
分类讨论$x$和$j$，$y$和$i$的大小，然后统计答案
但是数组$50\ast 2000\ast 2000$会炸，因为每一次只会有$i-1$对答案造成贡献，可以把i滚动掉
时间效率$O(n\ast (2000+2000+40^2)\ast 50)$

T3：graph
小f 的女朋友送给小f 一个有n个点m条边的无向图。但是这个无向图太大了，小f 的女朋友拿不动，于是小f 希望只保留图的一部分。在这张图上，对于第i条边$ui,vi$，从$ui$ 到$vi$的代价为$ai$，从$vi$到$ui$的代价为$bi$。
小f 希望只保留一个包含1号点的有向环(不能有重复的点)，使得环上代价之和最小。

因为环中一定有节点$1$，那么就从1开始大力DFS，数组开够有$65$%
那么我们可以把$1$拆成$2$个点，暴力枚举环上与$1$相连的两点，取最小值，效率为$O(n^3\log n)$，$25$%
然后考虑优化
我们可以把与$1$相连的点分成两部分，然后跑最短路，但是有可能最短的两个点在一个集合中，考虑优秀的分组方式
考虑按位分组，可以保证对于任意的$Vi!=Ui$都一定会有一次分在不同的两组，需要分成$(logn)$组，然后统计最小值即可
时间效率$O(n\log n^2)$