关于同余与模运算的总结

<1>    123456789*987654321 = ()

A: 121932631112635266                                       B: 121932621112635267

C: 121932631112635268                                       D: 121932631112635269

 

解答: 利用公式(ab)mod n  = (a mod n)（b mod n）mod n，可以得到

        123456789 X 987654321 mod 10 = (123456789 % 10) X (987654321%10) %10 = 9

         在这里我们介绍以下三个公式:

          (a+b)mod n =  ((a mod n)+ (b mod n))mod n;

          (a-b) mod n = ((a mod n )- (b mod n)+n)mod n;

          ab mod n = (a mod n) (b mod n) mod n

          注意，在减法中，由于a mod n 可能小于b mod n，需要在结果上加上n，而在乘法中，需要注意a mod n 和 b mod n相乘是否会溢出，因此这里要注意用long 型保存中间结果。像这样：

int mul_mod(int a,int b,int n) { a %= n; b %= n; return (int) ((long)a * b %n); }

 <2>大整数取模（sicily 1020）

       

       这里要利用到公式：(a+b) mod (n) = (a mod n) + (b mod n) mod (n)； 

      把大整数写成自左向右的形式：1234 = （（1*10+2）*10+3）*10+4，然后利用前面这个公式，每步取模，算法如下

 

// source code of submission 784219, Zhongshan University Online Judge System #include #include using namespace std; int main() { int test,n,i,k,ans,temp; int bas[106],res[106]; char oper[600]; //oper保存大数 cin>>test; while(test--) { cin>>n; for(i = 0;i < n;i++) cin>>bas[i]; cin>>oper; int len = strlen(oper); for(k = 0;k < n;k++) { temp = bas[k],ans = 0; for(i = 0;i < len;i++) //这里运用公式(a+b)%n = ((a%n)+(b%n))%n; ans = (int)(((long)ans*10+(oper[i]-'0'))%temp); res[k] = ans; } cout<<"("<

 

<3> 幂取模(sicily 1294)

    这也是用到了同余的性质：xy mod c = (x  mod c)* (y mod c) mod c

 

参考自郭嵩山老师的算法课件： d = 1; for (i = 1; i <= b; ++i) { d = d * a % c; } cout << d;

   算法如下：

 

// source code of submission 692835, Zhongshan University Online Judge System #include using namespace std; int main() { int a,b,c,i,d = 1; cin>>a>>b>>c; for(i = 1;i<=b;i++) d = d*a%c; cout<

 

 

 

<4>模线性方程

     题意：输入正整数a,b,n,解方程ax ≡ b (mod n) a,b,n<=10⁹  。

    解答：

       a ≡  b(mod n)的意思是说“a 和 b关于模n 同余 ”，即a mod n = b mod n。而a ≡ b mod n 的充要条件是: （a-b） 是n 的整数倍。 这样，这个问题就变成了ax-b是n的正整数倍。设这个"倍数"是y,则ax - b = ny,即ax - ny= b，因此，这个就回到了解不定方程的问题。

       比如给定方程ax +by +c = 0,求出满足这个方程的整数解（x,y）.这里，我们首先来学习扩展欧几里德算法——找出一对整数(x,y)，使得ax+by = gcd(a,b),这里的x,y不一定是整数，也可能是负数或者0，例如gcd(6,15) = 3,6*3 - 15*1 = 3,其中x = 3,y=-1;这个方程还有其他解，比如x = -2,y = 1;以下是一个扩展欧几里德算法的程序：

 #include using namespace std; int x,y; void gcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y) { if (!b) { d = a; x = 1; y = 0; } else { gcd(b,a%b,d,y,x); y -= x*(a/b); } } int main() { int a,b,x,y,d; cin>>a>>b; gcd(a,b,d,x,y); cout<

 

        可以证明：设a,b,c为任意整数。若方程ax+by = c 的一组整数解为x₀,y₀则它的任意整数解都可以写成（x₀+kb^',y₀+ka^'），

其中a^' =a/gcd(a,b),b^' = b/gcd(a,b),k为任意整数。

         假设对于ax - ny= b，其中a = 6,n = -15,b = 9，即6x+15y = 9,根据欧几里德算法，我们得到6X(-2)+15X1 = 3,两边同时乘以3，即可得到6X(-6)+15X3 = 9，即x = -6,y = 3是6x+15y = 9的一组解。

        最后，还有这样一个结论：设a,b,c为任意整数，g = gcd(a,b),方程ax+by = g的一组解是(x₀,y₀),则当c是g的倍数时，ax+by=c的一组解是(x₀c/g,y₀c/g);当c不是g的倍数时无整数解。

 

   

                                                                                                                          ——参考文献：《算法竞赛入门经典》，刘汝佳