无线通信原理笔记4

Alamouti编码

在发射端使用多个天线，接收端使用一个天线构成的MISO系统，可以获得与SIMO系统相同的分集阶数。这种情况在实际应用中非常有价值，因为实际中终端往往无法配备多个天线，而在基站侧使用多个天线往往是很容易的，因此发射分集方案收到广泛的关注。然而，发射分集方案在发射时需要结合信道状态信息（CSI）来构成发射Beamformer，这带来了更多的复杂度。

Alamouti编码方案是一种在发端无需CSI的方案（实际上是无需额外的Beamformer），它将发送的符号在空间（天线域）和时间域进行编码，因此是一种空时块码结构（STBC）。

下面以2发1收的MISO系统为例，即\(r=1, t=2\)，此时接收到的基带等效信号为

$$y=[h_1 h_2]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\end{bmatrix}+w$$

其中\(h_1,h_2\)是收发天线之间的信道系数，\(x_1,x_2\)是两个发射天线上发送的符号，\(w\)是高斯白噪声。

Alamouti在两个时隙上按如下方案重复的发送相同的数据符号

 

天线	slot1	slot2
1	\(x_1\)	\(-x_2^*\)
2	\(x_2\)	\(x_1^*\)

因此，在两个时隙上得到的接收信号分别为，slot1

$$y_1=[h_1 h_2]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\end{bmatrix}+w_1=h_1x_1+h_2x_2+w_1$$

slot2

$$y_2=[h_1 h_2]\begin{bmatrix} -x_2^* \\ x_1^*\end{bmatrix}+w_2=h_2x_1^*-h_1x_2^*+w_2$$

将\(y_2\)转置得到

$$y_2^*=h_2^*x_1-h_1^*x_2+w_2^*$$

与\(y_1\)合并得到

$$\mathbf{y}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2^*\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}h_1 & h_2 \\ h_2^* & -h_1^*\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}w_1 \\ w_2\end{bmatrix}$$

将信道矩阵中的列向量记为

$$\mathbf{c_1}=\begin{bmatrix}h_1 \\ h_2^*\end{bmatrix}, \mathbf{c_2}=\begin{bmatrix}h_2 \\ -h_1^*\end{bmatrix}$$

得到

$$\mathbf{y}=\mathbf{c}_1x_1+\mathbf{c}_2x_2+\mathbf{w}$$

考察\(\mathbf{c}_1^H\mathbf{c}_2\)

$$\mathbf{c}_1^H\mathbf{c}_2=[h_1^* h_2]\begin{bmatrix}h_2 \\ -h_1^*\end{bmatrix}=h_1^*h_2-h_2h_1^*=0$$

由此可知，\(\mathbf{c}_1\)和\(\mathbf{c}_2\)相互正交，也就是说两个符号发送所经历的信道相互正交！

在接收端尝试使用\(\frac{\mathbf{c}_1^H}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|}\)解析数据符号，即

$$\begin{aligned}\frac{\mathbf{c}_1^H}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|}y&=\frac{\mathbf{c}_1^H\mathbf{c}_1}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|}x_1+\frac{\mathbf{c}_1^H\mathbf{c}_2}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|}x_2+\frac{\mathbf{c}_1^Hw}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|} \\ &=\left\| \mathbf{c}_1 \right\|x_1+\frac{\mathbf{c}_1^Hw}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|} \end{aligned}$$

可以看到，上式中只有\(x_1\)和噪声项，而没有\(x_2\)的干扰。

若定义噪声项为\(\tilde{\mathbf{w}}=\frac{\mathbf{c}_1^Hw}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|}\)，其均值为零，而功率为

$$\begin{aligned}E\left\{ \tilde{\mathbf{w}}\tilde{\mathbf{w}}^H\right\}&=E\left\{ \frac{\mathbf{c}_1^H}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|}ww^H\frac{\mathbf{c}_1}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|}\right\} \\ &= \frac{1}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|^2}\mathbf{c}_1^HE\{ww^H\}\mathbf{c}_1 \\ &=\frac{\sigma^2\mathbf{c}_1^H\mathbf{c}_1}{\left\|\mathbf{c}_1\right\|^2} \\ &=\sigma^2\end{aligned}$$

接收信噪比为

$$\operatorname{SNR}=\frac{\left\|\mathbf{c}_1\right\|^2P}{\sigma^2}$$

其中

$$\left\|\mathbf{c}_1\right\|^2=|h_1|^2+|h_2^*|^2=\left\|\mathbf{h}\right\|^2$$

由于\(x_1\)和\(x_2\)是同时发送的，因此符号的功率各为\(P/2\)，因此Alamouti编码的接收信噪比为

$$\operatorname{SNR}=\frac{1}{2}\frac{\left\|\mathbf{h}\right\|^2P}{\sigma^2}=\frac{1}{2}\operatorname{SNR}_{MRC}$$

由此，可以得到关于Alamouti编码的两个结论：

1. 可以获得与MRC时相同的分集阶数，因为\(\left\|\mathbf{h}\right\|^2\)；

2. 相对于发射端Beamforming（此时发射端需要信道状态信息来做波束赋形），Alamouti编码方案在发射端无需CSI（发射时不需要波束赋形，只需要分多个时隙发送即可），其代价是接收信噪比相比于MRC减半。

Alamouti编码方案的BER性能

Alamouti编码方案的接收信噪比为

$$\operatorname{SNR}_{A}=\frac{\left\| h \right\|^2P}{2\sigma^2}=\frac{\left\| h \right\|^2}{2}\operatorname{SNR}$$

其中\(\operatorname{SNR}\)是高斯白噪声下的接收信噪比。由前面的分析可知，Alamouti编码方案的接收信噪比是MRC的一半。因此，在高信噪比条件下BER性能可以近似为

$$\operatorname{BER}\approx C_{2L-1}^{L}\left(\frac{1}{2*1/2\operatorname{SNR}}\right)^L$$

当\(L=2\)时，BER近似为

$$\operatorname{BER}\approx \frac{3}{\operatorname{SNR}^2}$$