通过矩阵求两个向量集中元素两两之间的欧氏距离(python实现)

在很多算法中都会涉及到求向量欧式距离，例如机器学习中的KNN算法，就需要对由训练集A和测试集B中的向量组成的所有有序对(Ai,Bi),求出Ai和Bi的欧式距离。这样的话就会带来一个二重的嵌套循环，在向量集很大时效率不高。

这里介绍如何将这一过程用矩阵运算实现。

假设有两个三维向量集，用矩阵表示:

A=[a11a12a21a22a31a32]

B=⎡⎣⎢⎢⎢b11b12b13b21b22b23b31b32b33⎤⎦⎥⎥⎥

要求A，B两个集合中的元素两两间欧氏距离。

先求出ABT：

ABT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13ak1bk1∑k=13ak2bk1∑k=13ak1bk2∑k=13ak2bk2∑k=13ak1bk3∑k=13ak2bk3⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

然后对A和BT分别求其中每个向量的模平方，并扩展为2*3矩阵：

Asq=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13(ak1)2∑k=13(ak2)2∑k=13(ak1)2∑k=13(ak2)2∑k=13(ak1)2∑k=13(ak2)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

Bsq=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13(bk1)2∑k=13(bk1)2∑k=13(bk2)2∑k=13(bk2)2∑k=13(bk3)2∑k=13(bk3)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

然后：

Asq+Bsq−2ABT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∑k=13(ak1−bk1)2∑k=13(ak2−bk1)2∑k=13(ak1−bk2)2∑k=13(ak2−bk2)2∑k=13(ak1−bk3)2∑k=13(ak2−bk3)2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

将上面这个矩阵一开平方，就得到了A，B向量集两两间的欧式距离了。

下面是python实现：

import numpy
def EuclideanDistances(A, B):
    BT = B.transpose()
    vecProd = A * BT
    SqA =  A.getA()**2
    sumSqA = numpy.matrix(numpy.sum(SqA, axis=1))
    sumSqAEx = numpy.tile(sumSqA.transpose(), (1, vecProd.shape[1]))    
    SqB = B.getA()**2
    sumSqB = numpy.sum(SqB, axis=1)
    sumSqBEx = numpy.tile(sumSqB, (vecProd.shape[0], 1))    
    SqED = sumSqBEx + sumSqAEx - 2*vecProd   
    ED = (SqED.getA())**0.5
    return numpy.matrix(ED)