[ML笔记]梯度下降和线性梯度下降

引导

前一篇讲解代价函数作用，在监督学习的回归问题上，我们使用代价函数求解最优解，以确定假设函数。
代价函数公式
J(θ0,θ1)=12m∑m1(hθ(xi)−yi)2
上文也提到，在参数较为复杂的情况下，代价函数的轮廓图可能如下图，该如何找到合适的 θ0,θ1 呢？

预备知识

有关导数，偏导数，方向导数，梯度，向量的概念请参考博文：
[机器学习] ML重要概念：梯度（Gradient）与梯度下降法（Gradient Descent）

梯度下降

梯度下降是一种找到代价函数最优解的方法。

梯度下降原理

代价函数是一座山，我们站在山上某个点上，我们环视四周，从上往下看，找到一个方向，向下走，下降得最快，直到下降到最底部。

梯度下降步骤

1. 确定向下 每一步的步长，我们称作learning rate;
2. 给定一个初始值(到山上某个点去);
3. 确定一个向下的方向，向下走一步，步长为step 2规定的步长;
4. 更新当前位置，回到step 3继续；
5. 当下降的高度小于某个定义的值（比如0）,则停止下降。

梯度下降算法

repeat util convergence: {
　　 θj:=θj−α∂∂θjJ(θ0,θ1) 　(simultaneously update j=0,j=1)
}
其中，α为learning rate， ∂∂θjJ(θ0,θ1) 是代价函数 J(θ0,θ1) 在 θj 方向的偏导数。

梯度下降算法特点

1. 初始点不同，获得的最小值也不同，因此梯度下降算法求得的只是局部最小值；
2. 越接近最小值，下降速度越慢（偏导数越来越小）

梯度下降过程

如图，按照X一步步下降，起始点不同，下降到的最低点也可能不同。

需要注意的点

1. α值该如何选择?会有什么影响？
   答： 如果取得一个合适的learning rate, 则代价函数应该越来越小(下降)，正确做法是实时观察代价函数变化，如果代价函数变小了，则learning rate取得合适，如果代价函数变大了，则应该减小learning rate的值。
   如果learning rate 太小了，梯度下降就会很慢，如果learning rate太大，那么梯度下降可能掠过最小值，就可能出现无法收敛，甚至出现发散的现象。
   

2. 如果 (θ0,θ1) 已经处于局部最小值，那么 (θ0,θ1) 会如何变化？
   答： leave (θ0,θ1) unchanged，因为已经在局部最小值，则导数肯定为0，则 (θ0,θ1) 不会变化。

3. 固定learning rate梯度下降如何收敛？
   答： 在convex函数（凸函数）底部，我们可以看到偏导数接近与0，因此最小值时，我们可以得到，
   θj:=θj−α∗0
   越到底部，偏导数越小。因此固定步长时，收敛到底部时下降速度会越慢（特点中提到过），因此，无需慢慢减小α的值。
   

线性梯度下降

高数复习

开始之前，我们先来复习一点高数知识，

复合函数求导法则

假设y=f(u)，u=φ(x),且f(u)和φ(x)均可导，则复合函数y=f(φ(x))的导数为：
dydx=dydududx    或     y′=f′(u)φ′(x)

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如果函数u=φ(t)及v==ψ(t)都在点t可导，函数z=f(u，v)在对应(u，v)具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(t),ψ(t)]在点t可导，且，
dzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdt

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和的导数等于导数的和

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复习完毕，我们继续
（TODO：高数复习篇）

线性回归梯度下降

假设函数：
hθ(x)=θ0+θ1x

代价函数：
J(θ0,θ1)=12m∑m1(hθ(xi)−yi)2

梯度下降算法：
repeat util convergence: {
　　 θj:=θj−α∂∂θjJ(θ0,θ1) 　(simultaneously update j=0,j=1)
}

在线性回归中，我们使用真实的代价函数和假设函数可以推导出梯度下降方程如下：

repeat util convergence: {

　　 θ0:=θ0−α1m∑m1(hθ(xi)−yi)
　　
　　 θ1:=θ1−α1m∑m1((hθ(xi)−yi)xi)
}

推导过程关键在于如何求 ∂∂θjJ(θ0,θ1) ,

∂∂θjJ(θ0,θ1)=∂∂θj12m∑m1(hθ(xi)−yi)2

假设 f(θ)=hθ(xi)−yi ,则，

∂∂θjJ(θ0,θ1)=∂∂θj12m∑m1f2(θ)=12m∗2f(θ)∑m1f′(θ)=1mf(θ)∑m1f′(θ)

因此
j=0,

f(θ)∑m1f′(θ)=(hθ(xi)−yi)∑m1∂∂θ0(hθ(xi)−yi) ,

∑m1∂∂θ0(hθ(xi)−yi)=∑m1∂∂θ0(θ0+θ1xi−yi)=∑m11 ，那么，

θ0:=θ0−α1m∑m1(hθ(xi)−yi)

j=1,

f(θ)∑m1f′(θ)=(hθ(xi)−yi)∑m1∂∂θ1(hθ(xi)−yi) ,

∑m1∂∂θ1(hθ(xi)−yi)=∑m1∂∂θ1(θ0+θ1xi−yi)=∑m1xi ，那么，

θ1:=θ1−α1m∑m1((hθ(xi)−yi)xi)

推导结束。

具体怎么使用，请听下回分解。