bzoj 1875: [SDOI2009]HH去散步（矩阵优化DP）

1875: [SDOI2009]HH去散步

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Description

HH有个一成不变的习惯，喜欢饭后百步走。所谓百步走，就是散步，就是在一定的时间 内，走过一定的距离。 但是同时HH又是个喜欢变化的人，所以他不会立刻沿着刚刚走来的路走回。 又因为HH是个喜欢变化的人，所以他每天走过的路径都不完全一样，他想知道他究竟有多 少种散步的方法。 现在给你学校的地图（假设每条路的长度都是一样的都是1），问长度为t，从给定地 点A走到给定地点B共有多少条符合条件的路径

Input

第一行：五个整数N，M，t，A，B。其中N表示学校里的路口的个数，M表示学校里的 路的条数，t表示HH想要散步的距离，A表示散步的出发点，而B则表示散步的终点。 接下来M行，每行一组Ai，Bi，表示从路口Ai到路口Bi有一条路。数据保证Ai = Bi，但 不保证任意两个路口之间至多只有一条路相连接。 路口编号从0到N − 1。 同一行内所有数据均由一个空格隔开，行首行尾没有多余空格。没有多余空行。 答案模45989。

Output

一行，表示答案。

Sample Input

4 5 3 0 0
0 1
0 2
0 3
2 1
3 2

Sample Output

4

HINT

对于30%的数据，N ≤ 4，M ≤ 10，t ≤ 10。 对于100%的数据，N ≤ 20，M ≤ 60，t ≤ 2^30，0 ≤ A,B

Source

Day1

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题解：矩阵优化dp

这道题与用图邻接矩阵G^k  G[a,b]表示a到b长度为ｋ的路径条数的思路有点类似。但是有一个附加的条件就是他不回立刻沿着刚走来的路走回，就是不能从1->2->1，但是可以1->2->3->4->2->1，只有不是连着的，路径就可以重复走。

那么这样的话肯定不能用点的邻接矩阵来表示了，所以改成用边的。

用w表示边的起点，v表示边的终点，那么如果v[i]=w[j] （注意i,j不可颠倒，因为我们把每条边都存储了双向边，所以对于现在的每一条边都是单向的） ，那么表示第ｉ条边可以走到第j条边，那么矩阵dis[i][j]=1。

然后用一个1*tot 的矩阵表示，把所有由起点发出的边付成1，用这个1×tot 的矩阵×  G^(K-1)（刚才构造的边的矩阵）

得到的一个1×tot的矩阵就表示从起点相连的边到所以边长度为k的路径数。

然后累加ans[1][连向终点的边] ，就是最后的答案。

#include
#include
#include
#include
#include
#define p 45989
#define N 200
using namespace std;
int n,m,t,a,b,tot;
int point[N],next[N],v[N],w[N];
struct data {
	int a[123][123];
}dis,start;
void add(int x,int y)
{
	tot++; next[tot]=point[x]; w[tot]=x; v[tot]=y; point[x]=tot;
	tot++; next[tot]=point[y]; w[tot]=y; v[tot]=x; point[y]=tot;
}
void clear(data &x)
{
	for (int i=0;i<=tot;i++)
	 for (int j=0;j<=tot;j++)
	  x.a[i][j]=0;
}
void change(data &a,data b)
{
	for (int i=0;i<=tot;i++)
	 for (int j=0;j<=tot;j++)
	  a.a[i][j]=b.a[i][j];
}
data mul(data a,data b)
{
	data c;
	for (int i=0;i<=tot;i++)
	 for (int j=0;j<=tot;j++)
	  {
	  	c.a[i][j]=0;
	  	for (int k=0;k<=tot;k++)
	  	 c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%p)%p;
	  }
	return c;
}
data pow(data num,int x)
{
	data ans; clear(ans);
	for (int i=0;i<=tot;i++)  ans.a[i][i]=1;
	data base; change(base,num);
	while (x)
	{
		if (x&1) ans=mul(ans,base);
		x>>=1;
		base=mul(base,base);
	}
	return ans;
}
void build()
{
	for (int i=0;i<=tot;i++)
	 for (int j=0;j<=tot;j++)
	  if (v[i]==w[j]&&i!=(j^1))
	   dis.a[i][j]=1;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&t,&a,&b);
	tot=-1;
	memset(point,-1,sizeof(point));
	memset(next,-1,sizeof(next));
	a++; b++;
	clear(dis);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	 {
	 	int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
	 	x++; y++;
	    add(x,y);
	 }
	build(); 
	for (int i=point[a];i!=-1;i=next[i])
	 start.a[0][i]++;
	data t1=pow(dis,t-1);
	data ans;
	for (int i=0;i<=tot;i++)
	 {
	 	ans.a[0][i]=0;
	 	for (int k=0;k<=tot;k++)
	 	 ans.a[0][i]=(ans.a[0][i]+start.a[0][k]*t1.a[k][i]%p)%p;
	 }
	int sum=0;
	for (int i=point[b];i!=-1;i=next[i])
	 sum=(sum+ans.a[0][i^1])%p;
	printf("%d\n",sum%p);
}