大二下：概率论与数理统计复习 预测卷

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1. 填空

1.1. $已知X求X^2的概率密度$

1.2. ${\sigma }^2已知的情况下三个拒绝域$

2. 选择

3. 大题

3.1. 贝叶斯

3.2. 已知随机变量X的概率密度求$f_Y(y)$

$设随机变量X\sim U(0,\pi )，试求随机变量Y=\sin X的概率密度函数．$
$解：$
$由均匀分布U(a,b)的概率密度函数f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{1}{b-a},& a<x<b\\ & 0,& 其他\end{array},$
$得U(0,\pi )的概率密度函数为f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{1}{\pi },& 0<x<\pi \\ & 0,& 其他\end{array}$
$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\sin X\le y)$
$当y<0时：$
$F_Y(y)=0,fY(y)=0$
$当0<y<1时：$
$F_Y(y)=P(0\le X\le \arcsin y)+P(\pi -\arcsin y\le X\le \pi )$
$=F_X(\arcsin y)-F_X(0)+F_X(\pi )-F_X(\pi -\arcsin y)$
$=f_x(\arcsin y)\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}+f_x(\pi -\arcsin y)\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$
$=\frac{2}{\pi \sqrt{1-y^2}}$
$当y>1时：$
$F_Y(y)=1,f_Y(y)=0$
$综上所述$
$f_Y(y)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{2}{\pi \sqrt{1-y^2}},& 0<y<1\\ & 0,& 其他\end{array}$

3.3. 其他