[分段打表 组合] LibreOJ Round #8 C .MIN&MAX I
由样例一可以知道三个数的位置关系
这四种情况其实是等价的，所以就就考虑其中的一种就好了
对于每一个三元环，我们求出它在所有排列中出现多少次，总和除以 n! n ! 就是答案
设我们考虑的环为 a3 a 3 a1 a 1 a2 a 2 ( a1<a2<a3 a 1 < a 2 < a 3 )
那么在 a3 a 3 与 a1 a 1 之间， a1 a 1 与 a2 a 2 之间可能插有若干个小于 a1 a 1 的数
枚举 a1 a 1
答案是
∑i=1n−2(n−i2)∑k1+k2<i(i−1k1+k2)(k1+k2k1)k1!k2!(n−2−k1−k2)! ∑ i = 1 n − 2 ( n − i 2 ) ∑ k 1 + k 2 < i ( i − 1 k 1 + k 2 ) ( k 1 + k 2 k 1 ) k 1 ! k 2 ! ( n − 2 − k 1 − k 2 ) !
把二项式系数展开，后面的sigma就只跟 k1+k2 k 1 + k 2 有关
答案就是
∑i=1n−2(n−i2)∑k=0i−1(i−1)!(i−1−k)!(n−2−k)!(k+1) ∑ i = 1 n − 2 ( n − i 2 ) ∑ k = 0 i − 1 ( i − 1 ) ! ( i − 1 − k ) ! ( n − 2 − k ) ! ( k + 1 )
=∑k=0n−3(n−2−k)!(k+1)∑i=k+1n−2(n−i2)(i−1)!(i−1−k)! = ∑ k = 0 n − 3 ( n − 2 − k ) ! ( k + 1 ) ∑ i = k + 1 n − 2 ( n − i 2 ) ( i − 1 ) ! ( i − 1 − k ) !
后面的 (i−1)!(i−1−k)! ( i − 1 ) ! ( i − 1 − k ) ! 就是 A(i−1,k) A ( i − 1 , k ) 乘个 k! k ! 变成 (i−1k) ( i − 1 k )
=∑k=0n−3(n−2−k)!(k+1)!∑i=k+1n−2(n−i2)(i−1k) = ∑ k = 0 n − 3 ( n − 2 − k ) ! ( k + 1 ) ! ∑ i = k + 1 n − 2 ( n − i 2 ) ( i − 1 k )
考虑 ∑n−2i=k+1(n−i2)(i−1k) ∑ i = k + 1 n − 2 ( n − i 2 ) ( i − 1 k ) 的组合意义，就是 n n 个数中选择 k+2 k + 2 个数，设一种选择方案中倒数第二个数与倒数第三个数差 x x ,那么 x≥2 x ≥ 2 并且这个方法会被算 x−1 x − 1 次
枚举 x x , ∑n−2i=k+1(n−i2)(i−1k)=∑n−k−2i=1(n−ik+2)=(nk+3) ∑ i = k + 1 n − 2 ( n − i 2 ) ( i − 1 k ) = ∑ i = 1 n − k − 2 ( n − i k + 2 ) = ( n k + 3 )
答案变成
∑k=0n−3(n−2−k)!(k+1)!(nk+3) ∑ k = 0 n − 3 ( n − 2 − k ) ! ( k + 1 ) ! ( n k + 3 )
展开得
n!∑k=0n−3n−k−2(k+2)(k+3) n ! ∑ k = 0 n − 3 n − k − 2 ( k + 2 ) ( k + 3 )
n! n ! 之后会被抵消
转化得
n∑k=0n−31(k+2)(k+3)−∑k=0n−31k+3 n ∑ k = 0 n − 3 1 ( k + 2 ) ( k + 3 ) − ∑ k = 0 n − 3 1 k + 3
前一个sigma等于 n(12−1n) n ( 1 2 − 1 n ) ，后面一个是自然数倒数和
我只会分段打表…
#include // ans=(ans+Pow(i,P-2))%P;
// if(i%1000000==0) printf("%d,",ans);
// }
ans=ANS[n/1000000];
for(int i=(n/1000000)*1000000+1;i<=n;i++)
ans=(ans+Pow(i,P-2))%P;
ans=(ans-1-(P+1>>1))%P;
ans=(1LL*n*((P+1>>1)-Pow(n,P-2))%P-ans)%P;
ans=4LL*ans%P;
printf("%d\n",(ans+P)%P);
return 0;
}