人工智能通识-科普-微积分概念

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这是关于微积分概念的复习和小结。
人工智能通识-2019年3月专题汇总

微积分学Calculus

微积分学Calculus，拉丁语意为计数用的小石头，历史上曾经用来指关于无穷小的计算。

但本质上讲，几何学研究形状，代数学研究计算，微积分学则研究变化关系，变量与因变量的变化关系。

粗糙说就是研究变化的时候变得快还是慢的学问。

微积分学又称为“初等数学分析”，微积分学在商学、科学和工程学领域有广泛的应用，用来解决那些仅依靠代数学和几何学不能有效解决的问题。

主要包括微分学、积分学。

微分学是关于函数局部变化率的学问，主要就是利用极限思维求斜率（求导数）。是关于变化速率的理论。

积分学为定义和计算面积等数据提供了一套通用的思路方法，也是数学分析的重要概念之一。

正态分布中分布比率正是曲线下面积的分割情况，积分学可以给出可行的计算方法。（后续文章中会讨论相关算法）

微积分基本定理指出，微分和积分互为逆运算。如果的导数函数是,那么的积分函数就是。

叫原函数，叫导函数。即：

注意，表示的是曲线下全部长方体的总面积，和a、x都没关系。

积分是微分的逆运算，是知道了导函数而求原函数。微分则是相反。

定积分是个值，是指某个区间内曲线下面的面积，而不定积分是个函数，即原函数。这类似某点的切线斜率和整个曲线的切线函数之间的区别。

需要注意的是，我们现实中见到的函数中，并不是每个函数都有导函数；另一方面，能够求出不定积分函数的原函数更加罕见。

17世纪，牛顿和莱布尼兹分别独立的各自发展起来的。

古代的穷举法是积分学的起源。穷举法其实就是不断细分的方法，“一尺之捶，日取其半，万世不竭”就是这个意思。

阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率的近似值；中国的刘徽在公元三世纪也应用穷举法求圆的面积；祖冲之也用类似的方法求出球体的体积。

莱布尼兹和牛顿正式提出了一套完整的规则来处理无穷小，他们都是微积分的发明者。牛顿率先将微积分算法应用到物理学中，结合万有引力定理解决了很多天文和物理问题，但我们现在使用的微积分符号大多是莱布尼兹发明的，包括。

极限是微积分学最重要的概念。导数是一种极限，积分也是一种极限。微积分本质上可以说是研究极限的理论。

在早期历史上并没有极限概念，而是使用为无穷小概念。直到19世纪中期，现代分析学之父，德国数学家魏尔斯特拉斯才正式提出极限概念。

这个路程计算公式仅在匀速直线运动中可行。但实际上很多物体对象的运动速度都是变化的。这就需要用到积分概念。

从这个图可以看出，对于时间横轴，描述了速度的波动变化，如果我们需要求出在时间区间[a,b]中间行驶了多少路程，那么我们就需要用到积分的方法，在极限小的时间里，我们认为速度是均匀的，然后把阴影面积S看做是无数排列紧密的竖向长方体，然后进行求和即可。

这个过程就是求定积分的过程。

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