【模板】Min-Max容斥-bzoj4036按位或

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Min-Max容斥

设$\max (S)$为集合$S$中的最大值，$\min (S)$为集合$S$中的最小值，$|S|$为集合$S$的大小，则存在：
$$\begin{gathered} \max (S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}\min (T) \\ \min (S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}\max (T) \end{gathered}$$

同样地，$Min-Max$容斥在期望下成立，即：
$$\begin{gathered} E(\max (S))=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(\min (T)) \\ E(\min (S))=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(\max (T)) \end{gathered}$$

(证明略)

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题解

套用$E(\max (S))={\sum }_{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(\min (T))$

其中$E(\min (T))=\frac{1}{\sum _{G\cap T̸=\varphi }p[G]}$

求出$P[S]=\sum _{T\subseteq S}p[T]$，则$E(\min (T))=\frac{1}{1-P[(2^n-1)\oplus T]}$

求$P$做个$FWT$即可。

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代码

#include
using namespace std;
typedef double db;
const int N=(1<<20)+5;
const db eps=1e-10;

int n,s,sz[N];
db p[N],ans;

int main(){
    int i,j,k;
    scanf("%d",&n);s=1<<n;
    for(i=0;i<s;++i) scanf("%lf",&p[i]),sz[i]=sz[i>>1]+(i&1);
    for(i=1;i<s;i<<=1)
        for(j=0;j<s;j+=(i<<1))
            for(k=0;k<i;++k)
              p[i+j+k]+=p[j+k];
    for(i=0,s--;i<=s;++i) if((1-p[s^i])>eps) ans+=((sz[i]&1)?1:(-1))/(1-p[s^i]);
    if(ans<eps) printf("INF");else printf("%.10lf",ans);
    return 0;
}