【Atcoder】AGC007 B-F简要题解

B.Construct Sequences

观察数据范围：$a_i,b_i\le 10^9,n\le 2\times 10^4$

$n^2<10^9$，所以让构造的$a,b$公差为$n$即可。

$p_i$就在$a_i$处$+(i-1)$即可。

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C.Pushing Balls

辣鸡推式子题！(dp想半天无解)

模拟一轮的操作，发现剩下$n-1$个球与坑的距离还是个等差数列(具体过程略)：
每轮移动期望距离$d+\frac{2n-1}{2x}$，一轮完毕后$d^{\prime }=d+\frac{2d+5x}{2n},x^{\prime }=x+\frac{4x}{2n}$

所以这道题教会我们：推不出dp就先模拟一轮，说不定变化有规律？

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D.Shik and Game

显然最优操作是每次给一段连续区间的熊喂糖，然后回到区间第一只熊的位置依次取硬币，设$f_i$表示最后一个区间以$i$结尾的最优值，转移如下：
$$f_i=min(f_j+\max (T,2(x_i-x_{j+1})))$$

答案即$f_n+E$

可以单调指针扫到最后一个$j$满足$2(x_i-x_{j+1})\ge T$，记录前缀和$\min (f_j-2x_{j+1})$。对于$2(x_i-x_{j+1})<T$的部分，由于$f_i$单调不降，所以用$f_{j+1}+T$更新$f_i$即可。

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E.Shik and Travel

再一次zz地忽略了题目中的关键性质：满二叉树…

二分答案$mid$：

因为每条边只能走两次，所以要先选完子树内的叶子结点才能走别的。考虑$dfs$遍历这颗树，假设当前处理到$x$点，它到左右儿子的距离分别为$v_0,v_1$。

每个结点维护一个数对$(a,b)$集合$S_x$，其中$a,b$分别表示根到第一个叶结点的距离和最后一个叶结点到根的距离。

对于点$x$，若左儿子集合$S_l$中的$(a,b)$和右儿子集合$S_r$中的$(a^{\prime },b^{\prime })$满足$b+a^{\prime }+v_0+v_1\le mid$，则点$x$的集合中存在$(a+v_0,b^{\prime }+v_1)$。

强制$|S_l|\le |S_r|$(不满足的$swap(l,r)$即可)，对于$|S_l|$中的每个数对$(a,b)$：
在$S_r$中找到满足$b+a^{\prime }+v_0+v_1\le mid$且$b^{\prime }$最小的数对$(a^{\prime },b^{\prime })$，将$(a+v_0,b^{\prime }+v_1)$压入$S_x$；
在$S_r$中找到满足$b^{\prime }+a+v_0+v_1\le mid$且$a^{\prime }$最小的数对$(a^{\prime },b^{\prime })$，将$(a^{\prime }+v_1,b+v_0)$压入$S_x$。

若$|S_{root}|>0$，则有解。

$|S_x|\le 2|S_l|$，类似于启发式合并，时间复杂度$O(n{\log }^{2}n)$

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F.Shik and Copying String

将$T$分成若干个内部字符相同的段。对于每段$[l,r]$的开头$l$，找到最大的$i$满足$i\le l$且$S_0[i]=T[l]$，那么这一段必然由$S_0[i]$转移而来。

贪心地看，我们应该倒序逐次地转移得到$T$的每个段：

红色表示最终转移到的区间，从上到下依次是$S_0,S_1,S_2,S_3$。

特判掉$S_0=T$和$S_l=S_i$的情况(答案分别为0,1)，那么其它情况都存在折线重叠。

考虑双端队列$q$维护重叠折线，答案即过程中双端队列大小最大值+1(加上折线到$l$后拓展到$r$的一步)：

考虑加入当前的点$i$，$q[head]$怎样才会限制到$i$呢？

假设当前加入$3$号点，双端队列中元素为$1,2$，可以发现在$1$的限制下，$3$在第二次转移后最多只能拓展到$q[head]-(head-tail)$的位置——若$l_3$在这个位置之前，那么$q[head]$就限制不到$3$了。

不断弹出队首直至满足$q[head]-(head-tail)\le l_3$或者队列为空，然后将$3$加入队尾。并在过程中不断用$head-tail+1$更新$ans$。

答案即$ans+1$。