790. 多米诺和托米诺平铺

https://leetcode-cn.com/problems/domino-and-tromino-tiling/
有两种形状的瓷砖：一种是 2x1 的多米诺形，另一种是形如 “L” 的托米诺形。两种形状都可以旋转。

XX <- 多米诺

XX <- “L” 托米诺
X
给定 N 的值，有多少种方法可以平铺 2 x N 的面板？返回值 mod 10^9 + 7。

（平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同，当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个，使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。）

示例:输入: 3输出: 5解释:
下面列出了五种不同的方法，不同字母代表不同瓷砖：
XYZ XXZ XYY XXY XYY
XYZ YYZ XZZ XYY XXY

我们定义fe[n]表示2*n的格子有多少种铺法，定义fo[n]表示2*n + 1的格子有多少种铺法（也就是在2*n的格子上面含有一个格子），然后推导fe和fo的递推关系。对于fe的最顶层，我们分别有如下图所示的几种铺法，因此，可以得出递推关系为：

fe[n] = fe[n - 1] + fe[n - 2] + 2fe[n - 3] + 2fo[n - 3];
上图3，4，5，6可以归为一类
fe[n] = fe[n - 1] + fe[n - 2] + 2fo[n-2]

fo[n] = fo[n - 1] + fe[n - 1]

特别地，我们容易得知：fe[1] = 1, fe[2] = 2, fe[3] = 5, fo[1] = 2, fo[2] = 2, fo[3] = 4。因此就可以根据初始条件和递推关系写出基于动态规划的源代码了。

我们在下面写出的源代码的空间复杂度为O(N)，时间复杂度为O(N)。但是注意到fe[n]和fo[n]也仅仅只和fe[n-1], fe[n-2], fe[n-3]以及fo[n-1], fo[n-2], fo[n-3]有关，所以还可以进一步将空间复杂度从O(n)优化到O(1)。

更新：其实把fo(n) = fo(n - 1) + fe(n - 1)代入fe(n),可以得到更简单的递推公式：fe[n] = fe[n - 1] + fe[n - 2] + 2fo[n-2]，甚至还可以进一步优化为fe[n] = fe[n - 1] + fo[n - 1] + fo[n-2]，还可以进一步优化为fe[n] = fo[n] + fo[n - 2]。这样写出来的代码应该就更简洁优雅了。

class Solution:
    def numTilings(self, N: int) -> int:
        a=[0, 1, 2, 5]
        b=[0, 1, 2, 4]
        c = 10**9+7
        if N<4:
            return a[N]
        for i in range(4, N+1):
            a.append((a[i-1]+2*b[i-2]+a[i-2])%c)
            b.append((a[i-1]+b[i-1])%c)
        return a[N]

内存占用最少：

class Solution:
   def numTilings(self, N: int) -> int:
       a=[1, 2, 0]
       b=[1, 2, 0]
       c = 10**9+7
       if N<3:
           return a[N-1]
       for i in range(3, N+1):
           a[2] = (a[1]+2*b[0]+a[0])%c
           b[2] = (a[1]+b[1])%c
           a[0] = a[1]
           a[1] = a[2]
           b[0] = b[1]
           b[1] = b[2]     
       return a[2]