NOIP模拟 取书问题【概率期望dp】

题目描述

有n个同学坐成一列，按从前往后的顺序传n本书，第i本数是第i新的，其中第i个同学会从n-i+1本课本中选一本并把剩下的书传给后面的一位同学，第i个同学在挑选课本的时候满足 如下过程：
1.如果只剩一本书，则一定拿走，否则转步骤2；
2.从剩下的数中抽出最新的一本。
3.有a[i]的概率选择这本书并结束选择，1-a[i]个概率将这本书传给后面的同学并回到步骤1。
现在问最后一名同学拿到的数在新旧排名的期望。

传送门：http://www.accoders.com/problem.php?cid=1697&pid=2

解题思路

考虑一般的算法瓶颈在我们需要记录拿走的书的集合，但如果我们知道最后一位同学拿的书的排名为 x，那么排名在 x 之前的书对 x 产生的贡献只与剩余的本数（因为一个人拿每本书的概率是相同的）有关，排名在 x 之后的同理。

所以我们先枚举最后一位同学拿的书的排名 x，再考虑 DP 概率，记 f[i][j][k]表示前i 个同学拿书时还剩下 j 本书排名小于等于 x，k 本书排名大于 x，可以转移到 f[i+1][j-1][k]或f[i+1][j][k-1]，转移系数为第i个同学拿前j-1新的书的概率和拿后k新的书（不能拿第x本），可以O(n2n2)预处理后转移系数做到 O(1)转移，f[n][1][0]就是最后一个同学拿 x 的概率。
时间复杂度 O(n4)，期望得分 80 分。

最后我们发现在确定 x,i,j 后，k 的值是可以算出的，所以省去一维状态。
时间复杂度 O(n3)，期望得分 100 分。

附上代码

#include
const int N=303,M=1000000007;
int n,x,p[N][N];
long long f[N],now,ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i

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