周期信号的三角函数表示 续（信号的合成和Gibbs现象）

用不同频率，相位，幅度的三角波合成信号

 

    上回我们通过只改变正弦和余弦频率的方式，得到了冲击串信号和Sinc函数，这两个常见信号。这次我们不仅要改变各阶谐波的频率（k*fo）还要改变他们的幅值（ak,bk）和相位（φk）,去合成更多的波。

谐波信号的叠加（不同频率，不同幅度，不同相位）：

     刚才我们所合成的信号非常有限，因为我们只改变了三角函数中的频率，而没有改变幅度和相位这两个参数。现在我们试着改变不同谐波中的幅度和相位，我们就能合成几乎所有类型的波。这就是傅里叶分析的核心思想！

 

用正弦波/余弦波合成方波：

     用正弦波合成方波时，只需把频率是基波频率f0的奇整数倍的正弦谐波（奇函数），即，1f0,3f0,5f0....., 逐一相加就行了。但在相加之前需要把正弦函数的幅度A改为其频率的倒数，即，A = 1/1, 1/3,1/5.....。最终合成出来的方波还是一个奇函数。

 

     用余弦波合成方波时，方法和合成正弦波的方式基本相同。不是上面所说的“逐一相加”，而是一正一负，或者说是一加一减。最终合成出来的方波还是一个偶函数。

 

具体的正弦波和余弦波的合成公式如下：

 

奇数项谐波和偶数项谐波的相互抵消：

     请注意，不论是用正弦还是用余弦来合成方波时，所选用的谐波系数K都是奇数。主要原因就是，奇数项的谐波（不论是正弦还是余弦，即，不论是奇函数，还是偶函数）会抵消偶数项的谐波。换句话说，偶数项/阶（even order）的谐波是具有破坏性的（destructive），因此不常被用于信号的分析和构建。例如在下图中，可以明显的看到这一点。

 

     这里，频率为1,3Hz的谐波和频率为2,4Hz的谐波在图中所指出的位置（t = 0.5 秒）是正好相反的（antipodal）。之所以，无穷多个正弦波和余弦波的叠加（取绝对值）能够被用来合成冲击串信号也是正是利用了这一原理，即，偶数阶谐波的破坏性。见下图。

 

 

 

颠覆了傅里叶变换的Gibbs现象

Gibbs现象：

    在合成方波的过程中，我们最初只用了一个基波+三个谐波合成的信号就很像方波了，那么是不是只要谐波的数量足够多，最终合成的波形就能够和方波一模一样吗？答案是否定的。

    随着谐波数量的增加，如下图中谐波的数量增加到100项，最终合成的波形确实越来越像方波，但是始终会波形的边缘处产生剧烈的振荡/抖动（ripple），这就是著名的Gibbs现象。Gibbs现象同时还是一个非常优秀的特例，彻底的否定了另一个鼎鼎大名的定理，即，傅里叶指出所有信号都可以用傅里叶级数来表达。Gibbs现象说明了傅里叶级数无法表示不连续，有间断的信号。

 

如何合成锯齿波：

锯齿波（sawtooth wave）是奇函数，所以只能用正弦函数来合成。锯齿波的合成公式如下：

     公式中的系数使得各阶谐波对于整个函数的贡献随着谐波系数k（即，谐波频率）的增加而减少，这一点和方波的合成是一样的。

 

       跟方波的合成不同的是，锯齿波的合成只需要少量的几个谐波就能达到很逼真的锯齿波，例如，20个谐波。但是，对方波而言，往往需要很多谐波的叠加才能达到很好的逼近，如100个谐波。这是因为，方波的不连续和跳变要比锯齿波厉害的多，所以要用更多的谐波去叠加。

 

80年代录像带大放送：（写在最后）

下面的视频中，从1阶谐波增加到2阶的时候波形没有发生改变，为什么呢？别忘了方波的合成中，只有叠加了奇数波。

 

下图是从0阶一直加到了100阶，出现了明显的Gibbs现象。

谢谢收看！

再见。

 

鸣谢：

【1】http://complextoreal.com/

【2】 signals and systems --- 奥本海姆

 

《圣经》路加福音 16章:10 ------ 人 在 最 小 的 事 上 忠 心 ， 在 大 事 上 也 忠 心 。 在 最 小 的 事 上 不 义 ， 在 大 事 上 也 不 义 。

*配图与正文内容无关