离散方法（一）——有限单元方法(FEM)

• 有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它们边界上的结点相互联结成为组合体。

• 有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知函数或/及其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来，求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点值的有限自由度问题。

• 有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。

结构离散（有限元建模）
内容：
1） 网格划分—即把结构按一定规则分割成有限单元；
2） 边界处理—即把作用于结构边界上的约束和载荷处理为结点约束和结点载荷。
要求：
1） 离散结构必须与原始结构保形—单元的几何特性；
2） 一个单元内的物理特性必须相同—单元的物理特性。
单元与结点：
单元：原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域；
结点：单元与单元间的连接点；

结点力：单元与单元间通过结点的相互作用力（内力）；
结点载荷：作用于结点上的外载荷，与结点力的区别如图2.3所示。
结点自由度：结点所允许的独立运动参数的数目。

注意：
1) 结点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过结点传递，而单元边界不
传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；
2) 结点力与结点载荷的差别。

2.2.2 插值函数
插值函数用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单
元结点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。
选择位移函数的一般原则：
1） 位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部是连续的）；
2） 所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。
注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到
与真实解接近的近似解。