MATLAB学习笔记（六） 因式分解、概率与数理统计
因式分解
行列式、逆、秩
- det(A) 行列式
- rank(A) 矩阵A的秩
- inv(A) 矩阵A的逆矩阵，非方针和奇异矩阵（不是满秩的矩阵）会报错
- pinv(A) 求A的伪逆矩阵，是逆矩阵的广义化。
- trance(A) 求矩阵A的迹，就是对角线元素之和
伴随矩阵求法:
A* = compan(B)
A* = inv(A) * det(A)
Cholesky 因式分解
正定矩阵定义:A是n阶方阵，如果对任何非零向量x，都有xTAx>0，其中xT 表示x的转置，就称A正定矩阵。
Cholesky 因式分解是将A分解为一个上三角矩阵R和其转置矩阵的乘积。对应表达式：
A = R’R
条件：正定矩阵
>> a = pascal(6)%初始化
>> R = chol(a)
R =
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5
0 0 1 3 6 10
0 0 0 1 4 10
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 1
>> R'* R == a%证明其等价关系
ans =
6×6 logical 数组
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
LU因式分解
LU分解用于简化大矩阵行列式的计算过程、矩阵求逆和连立方程组的求解
注意：结果不唯一
调用：
[L,U] = lu(A)
对于Ax = b的求解
x = U(L\b)
‘\’是左除符号，左除左边的矩阵
验证：
>> a = pascal(3)
a =
1 1 1
1 2 3
1 3 6
>> [L U] = lu(a)
L =
1.0000 0 0
1.0000 0.5000 1.0000
1.0000 1.0000 0
U =
1.0000 1.0000 1.0000
0 2.0000 5.0000
0 0 -0.5000
>> L * U
ans =
1 1 1
1 2 3
1 3 6
QR因式分解
若A为正交矩阵，则A’A = 1
QR分解即为正交分解，将A分为一个单位正交矩阵和上三角矩阵
A = QR
验证
>> a = magic(3)
a =
8 1 6
3 5 7
4 9 2
>> [Q R] = qr(a)
Q =
-0.8480 0.5223 0.0901
-0.3180 -0.3655 -0.8748
-0.4240 -0.7705 0.4760
R =
-9.4340 -6.2540 -8.1620
0 -8.2394 -0.9655
0 0 -4.6314
>> Q * R
ans =
8.0000 1.0000 6.0000
3.0000 5.0000 7.0000
4.0000 9.0000 2.0000
>>
范数
范数是一个标量，用来衡量向量的长度。
范数 != 向量的元素个数
| 函数 | 含义 | 数学含义 |
|---|---|---|
| norm(X) | 欧几里得范数 | 根号下xk绝对值的平方和 |
| norm(X,inf) | 求♾范数 | x绝对值最大值 |
| norm(X,1) | 求1范数 | xk绝对值的和 |
| norm(x,p) | p范数 | p可以是任意值 |
>> x = [2 4 5]
x =
2 4 5
>> norm1 = norm(x)
norm1 =
6.7082
>> norm2 = norm(x,1)
norm2 =
11
>> norm3 = norm(x,inf)
norm3 =
5
>> norm4 = norm(x,4)
norm4 =
5.4727
矩阵的特征值和奇异值
E = eig(A) 求出A的全部特征值，构成向量E
[V,D] = eig(A)求出A的全部特征值，构成D，特征向量，构成V
>> A = [1,-3;2,2/3]
A =
1.0000 -3.0000
2.0000 0.6667
>> [V,D] = eig(A)
V =
0.7746 + 0.0000i 0.7746 + 0.0000i
0.0430 - 0.6310i 0.0430 + 0.6310i
D =
0.8333 + 2.4438i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.8333 - 2.4438i
求解x4 -2x3 +3x2 +4x-5 = 0 的根
思路：伴随矩阵的特征根即为方程的根。
>> B = [1,-2,3,4,-5]
B =
1 -2 3 4 -5
>> A = compan(B)
A =
2 -3 -4 5
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
>> C = eig(A)
C =
1.1641 + 1.8573i
1.1641 - 1.8573i
-1.1973 + 0.0000i
0.8691 + 0.0000i
奇异值
如果存在两个矢量 u , v u,v u,v以及一个常数 s s s使得矩阵A满足
A v = s u Av = su Av=su
A ′ u = s v A'u = sv A′u=sv
则称 s s s为奇异值， u , v u,v u,v为奇异矢量.
奇异值分解是一种正交矩阵分解法
调用
[U,S,V] = svd(A)
A = U * S * V’
概率与数理统计
sum函数，和
用于求矩阵列向量的和
B = sum(A) 若A为向量，返回元素和，若A为矩阵，返回列向量和（存放在一个行向量中）
B = sum(A,dim) 对dim维度求和
comsum函数，累计和
B = comsum(A) 同上，返回的是一个加和，
B = comcum(A,dim)同上
prod函数，积
B = prod(A) 如果A是向量，返回所有元素的积，如果A是矩阵，返回各列元素的积
B = prod(A,dim) 同上。
comprod 函数，累积
同上
sort函数
B = sort(A)对A进行默认升序排序。输入A可以是向量、矩阵和字符串
B = sort(A,dim) 对第dim维度进行升序排列
B = sort(…,mode) mode是升序降序’ascend’ ‘descend’
[B,IX] = sort(A,2) 排序并且返回下标
sortrows函数
B = sortrows(A) 对A进行升序排列
B = sortrows(A,column) 基于column列进行升序排列
[B,index] = sortrows(A…) 同时返回索引表
max和min函数
max(A) 如果是向量 返回最大的元素，如果是矩阵，返回列向量最大
max(A,B) 返回每个元素为止A，B的大的那个
[C,I] = max() 同时返回下标
max(A,[],dim)返回A中dim维度的最大值，1 是列2 是行
mean 函数
M = mean(A) 求平均值
M = mean(A,dim)
median函数
求中值
median(A)
median(A,dim)
std函数
标准差
(1) s = ⟮ 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x − x ˉ ) 2 ⟯ 1 2 s =\lgroup \frac{1}{n-1}\sum_{i = 1}^{n}{(x-\bar{x})}^2\rgroup^\frac{1}{2}\tag{1} s=⟮n−11i=1∑n(x−xˉ)2⟯21(1)
(2) s = ⟮ 1 n ∑ i = 1 n ( x − x ˉ ) 2 ⟯ 1 2 s =\lgroup \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(x-\bar{x})}^2\rgroup^\frac{1}{2}\tag{2} s=⟮n1i=1∑n(x−xˉ)2⟯21(2)
(3) x ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}\tag{3} xˉ=n1i=1∑nxi(3)
调用:
s = std(x) 计算样本的标准差，计算式(1)计算标准差
s = std(x, flag) flag = 0 同上 flag =1 用（2）的方式求方差
s = std(x,flag,dim) 返回第dim维度的标准差
var函数
求方差
V = var(X) 若X为向量，计算X方差，若X为矩阵，计算列方差
V = (X,1) 按照（2）计算方差
V= var(X,w,dim)dim维度方差，权重向量w计算
cov函数
协方差矩阵计算函数
c o v ( x 1 , x 2 ) = E [ ( x 1 − u 1 ) ( x 2 − u 2 ) ] cov(x_1,x_2) = E[(x_1 - u_1)(x_2 - u_2)] cov(x1,x2)=E[(x1−u1)(x2−u2)] u 1 = E ( x 1 ) u_1 = E(x_1) u1=E(x1) u 2 = E ( x 2 ) u_2 = E(x_2) u2=E(x2)
协方差主要说的是两个随机量的差别
C = cov(x) 若x为向量，返回的是向量的方差，若x是矩阵，返回协方差矩阵
cov(x,y) x列y列的协方差
corrcoef函数
求相关系数 ρ x y \rho_{xy} ρxy
ρ x y = c o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) \rho_{xy} = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} ρxy=D(X)D(Y)cov(X,Y)
corrcoef(x) 若X为矩阵，返回一个相关系数矩阵
corrcoef(x,y) 返回数值，x和y列的相关系数
概率密度、分布函数、逆分布函数、随机数
逆分布函数 = 逆累积分布函数 = 分布函数的反函数
用处：输入参数0.9可以查到当累积到 X = x i X = x_{i} X=xi的时候置信区间为0.9，即 P ( X < x i ) = 0.9 P_{(X<x_{i})} = 0.9 P(X<xi)=0.9，返回这个 x i x_{i} xi
| 分布名称 | 概率密度函数 | 累积分布函数 | 逆累积分布函数 | 随机发生器 |
|---|---|---|---|---|
| 二项分布 | binopdf | binocdf | binoinv | binornd |
| 柏松分布 | poisspdf | poisssdf | poissinv | poissrnd |
| 正态分布 | normpdf | normcdf | norminv | normrnd |
| 均匀分布 | unifpdf | unifcdf | unifinv | unifrnd |
| χ 2 \chi^{2} χ2分布 | chi2pdf | chi2cdf | chi2inv | chi2rnd |
| F分布 | fpdf | fcdf | finv | frnd |
| t分布 | tpdf | tcdf | tinv | trnd |
实例：
参数为20的泊松分布概率密度函数
>> x = 0:50;
>> Lamada = 20;
>> r = poisspdf(x,Lamada);
>> plot(x,r)
