数图笔记之直方图

基本概念

• 图像直方图：数字图像直方图是离散函数 $h(r_k)=n_k$，其中 $r_k$ 是指第 $k$ 级灰度，$n_k$ 是图像中灰度级为 $r_k$ 的像素值的个数。若用图像中的每个灰度级对应的 $n_k$ 除以它的像素个数的总数，就是归一化的直方图。一般情况下，若图像的直方图成均匀分布态势，则图像的对比度会较高且有比较丰富的灰度色调。
• 直方图均衡：其目的是使得图像的灰度值分布尽可能地“均匀”的分布到各个级别，从而提高灰度对比，使得图像的视觉效果更好。具体如下实例：
  

• 局部直方图均衡：将图像分成若干块，对每块单独作均衡处理

直方图均衡化理论证明

找到一个变换函数 $s=h(r)$，使得该函数具有如下性质：

• 单调递增——目的是为了”可逆/可还原“变换
• $\text{rand}(h(r))\in [0,L-1]$

即直方图均衡化的变换函数必须满足上述两个性质

注意到，若变换后的变量 $s$ 是一个具有均匀概率密度的随机变量时，则意味着有 $s$ 所生成的图像对应的直方图是均匀分布的，即均衡的。下面就要找到这样一个变换函数。
其实，存在如下变换：$$s=T(r)=(L-1){\int }_0^r{p}_r(w)dw，\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中 $p_r(w)$ 为 $r$ 的概率密度函数。实质上，该变换函数 $T$ 是 $r$ 的累积概率分布函数，它一定是满足上述的两个性质的。同时，经过该变换后得到的随机变量 $s$，其概率密度函数也必定是均匀分布的。下面证明这一点：

因
$$\frac{ds}{dr}=\frac{dT(r)}{dr}=(L-1)\frac{d}{dr}{\int }_0^r{p}_r(w)dw=(L-1)p_r(r)>0\text{\hspace{1em}(2)}$$
又由基本概率论可知，对于 $p_r(r)$ 和 $p_s(s)$，其各自表示随机变量 $r$ 和 $s$ 的概率密度函数，$s$ 为变换后的随机变量，$r$ 为变换前的随机变量，那么它们具有如下公式：
$$p_s(s)=p_r(r)\left|\frac{dr}{ds}\right|\text{\hspace{1em}(3)}$$
故将（2）代入（3）可得：
$$p_s(s)=p_r(r)\left|\frac{dr}{ds}\right|=p_r(r)\left|\frac{1}{(L-1)p_r(r)}\right|=\frac{1}{L-1}\text{\hspace{1em}(4)}$$
由（4）可得，$s$ 是一个具有均匀概率密度的随机变量。这意味着由 $s$ 生成的图像所对应的直方图是均匀分布的，变换函数 $T$ 即为直方图均衡变换函数

以上就是变换函数 $T$ 为什么可对直方图进行均衡化处理的理论证明，公式（1）即为连续情况下直方图均衡化的核心公式

直方图均衡化示例

下面举个例子来说明如何对二维离散图像进行直方图均衡化
给定如下 3×3 大小的图像，其灰度级别为 $[0,3]$，即 $L=4$：
$$\left[\begin{array}{lll}0& 3& 3\\ 1& 2& 3\\ 2& 0& 0\end{array}\right]$$
该图像的各个像素值 $r$ 对应的概率密度函数 $p_r(r)$ 为：$p_r(0)=\frac{3}{9},p_r(1)=\frac{1}{9},p_r(2)=\frac{2}{9},p_r(3)=\frac{3}{9}$。所以根据公式（1），其在离散变量下对应的输出像素 $s$ 为：$T(0)=3p_r(0)=1,T(1)=3\sum _{i=0}^1{p}_r(i)=\frac{4}{3}，T(2)=3\sum _{i=0}^2{p}_r(i)=2,T(3)=3\sum _{i=0}^3{p}_r(i)=3$，故其均衡化后的输出图像为：
$$\left[\begin{array}{lll}1& 3& 3\\ \frac{4}{3}& 2& 3\\ 2& 1& 1\end{array}\right]$$

在图像增强中使用直方图统计

涉及公式：

• 图像灰度分布概率：$p(r_i)=\frac{n_i}{n},i=1,2,\dots ,L-1$，其中 $n_i$ 表示灰度级为 $i$ 的像素点个数，$n$ 为总的像素点个数
• 图像灰度平均值：$m=\sum _{i=1}^{L-1}{r}_{i}p(r_i)$ —— 衡量图像整体是偏暗还是偏亮。若该值偏大，则说明偏亮；否则相反
• 图像灰度方差：$\mu =\sum _{i=1}^{L-1}(r_i-m{)}^{2}p(r_i)$ —— 衡量图像整体的灰度变化是否明显，即对比度是否高。若该值偏大，则说明对比度高；否则相反

具体应用例子：

1. 如何判断图像的某个像素点是否处于边缘处？

   取以该像素点为中心的一个领域，统计该领域内所有像素的方差 $\mu$。若 $\mu$ 偏大，则说明该像素点处于边缘处，否则不是

2. 如何判断图像的某个像素点是否处于较黑暗处？

   取以该像素点为中心的一个领域，统计该领域内所有像素的均值 $m$。若 $m$ 偏小，则说明该像素点处于偏暗处，否则不是