树状数组
(我又来写题解了~~~)
树状数组（二叉搜索树）
定义： c[i] 维护的是 [i，i−lowbit（i）+1] 这段区间的值，这个 lowbit 等会解释。树状数组，他的时间复杂度为 O（logN） ，而且常数小，还好写，简直就是oi中的大法。并且我们可以“感受”到，如果只有一般的修改与一般的询问最大值，前缀和等，都完全可以替代线段树。（当然，有些时候他也替代不了线段树，比如主席树时）。下面来直观看看这个数组c的管辖范围。
由此可见，这个数组像一棵树一样，故曰树状数组（实际上本来就是一棵树）。
下面解释 lowbit（x） 的含义： lowbit（x） 是最大的 2k ，使得 2k 是 x 的约数，而 2（k+1） 不是其约数。即 x 的约数中最大的二的幂。也可以说是 x 在二进制时最后一个 1 所代表的值。
1.基本操作：
单点更新：
int update(int x,int val)
{
while (x<=n)
{
c[x]+=val;
x+=lowbit(x);
}
}区间查询：
int query(int x)
{
int ans = 0;
while (x)
{
ans += c[x];
x-=lowbit(x);
}
}实际上也可以区间更新，区间查询。记录一个新数组 a[i]=x[i]−x[i−1] （原数组为 x ），那么修改时修改差分，然后差分的前缀和就是单点的数。而区间查询则需要推公式，推出来为 x×∑a[i]−∑a[i]×(i−1) ；那么就只需要再记录一个新的数组记录 a[i]×(i−1) 。
例题
- Codevs 1082
题目：区间修改，区间查询。
代码：
#include- Bzoj 1452: [JSOI2009]Count
题目： 略
题解：水题啊，注意到 c 的值很小， m ， n 的也很小，那么我们就记录树状数组 c[d][m][n] 表示 d 这个数在 （0,0）—（m，n） 这个矩形内出现次数，然后就完了。
代码：
#include- bzoj 2743[HEOI2012]采花
题目：
萧芸斓是Z国的公主，平时的一大爱好是采花。
今天天气晴朗，阳光明媚，公主清晨便去了皇宫中新建的花园采花。花园足够大，容纳了n朵花，花有c种颜色（用整数1-c表示），且花是排成一排的，以便于公主采花。公主每次采花后会统计采到的花的颜色数，颜色数越多她会越高兴！同时，她有一癖好，她不允许最后自己采到的花中，某一颜色的花只有一朵。为此，公主每采一朵花，要么此前已采到此颜色的花，要么有相当正确的直觉告诉她，她必能再次采到此颜色的花。由于时间关系，公主只能走过花园连续的一段进行采花，便让女仆福涵洁安排行程。福涵洁综合各种因素拟定了m个行程，然后一一向你询问公主能采到多少朵花（她知道你是编程高手，定能快速给出答案！），最后会选择令公主最高兴的行程（为了拿到更多奖金！）。
题解：
实际上就是问你区间上有几个落单的数。那么我们可以打一下标记，先把询问按左端点排序，然后记录每个数的下一个与其值相等的数的位置 next ，然后先把每个值第二个加入树状数组，接着做时，就遇到一个 i ，去掉 next[i] ，加上 next[next[i]] 。（因为这样就可以使如果只有一个，一正一负刚好可以抵了，反之，也对，把第二个也加上是考虑了第零个）。
代码：
#include- bzoj 1878: [SDOI2009]HH的项链
题解：
与上题相似，但这题按右端点排序。我们记录一个 a[i] 表示 i 是不是当前区间内 x[i] 这个值最靠右的（ x 是原序列），然后就统计一下就完了。
代码：
#include- bzoj 4240: 有趣的家庭菜园
题目：略
题解：
（这题好啊）*最小交换次数就是最后序列的关于原位置的逆序对*，然后我们可以证明最后数列是一个先增后减的样子。（好不容易遇到一个我会证的，当然要证一证）。如下：首先最大的可以随便放，然后我们考虑他左边的第一个数 Ai ，那么 Ai 右边有比他大的了，所以 Ai 左边都不能比 Ai 大，所以 Ai 是 [1,i] 最大的，同理可证 Ai−1 也是 [1,Ai−1] 最大的，于是在最大的以左为单增，同理可证右边为单减。好了，接着把草从大到小排一次序，那么我们新放的数一定在已经放的数的最左边或最右边，然后开始贪心，每次加入其位置，然后看是放左边还是右边。因为大的已经放了，较小的无论怎么放都不会影响之前的大的，所以可以贪心。
总结：这道题最大的转点在于：最小交换次数就是最后序列的关于原位置的逆序对这一结论，一定要记熟。
代码：（压了行的，别打我）
#include1); int tmp=query(a[i].id);
ans+=min(tmp,head-1-tmp);}printf("%lld",ans);return 0;}
- bzoj 2131 : 免费的馅饼
（数据小点还可以dp的，气）。这个我实在是看的别人的，这里推荐一个写得好的：
http://m.blog.csdn.net/FromATP/article/details/64133191
代码：
#includereturn w1int lowbit(int x){return (x&(-x));}
int query(int x)
{ int ans=0;
while (x)
{ans = max(c[x],ans);
x -= lowbit(x);}
return ans;
}
void update(int x,int val)
{ while (x<=n)
{c[x] = max(c[x],val);
x+=lowbit(x);
}}
int main()
{
scanf("%d%d",&w,&n);
for (int i = 1;i<=n;i++){
scanf("%d%d%d",&ob[i].t,&ob[i].loc,&ob[i].v);
ob[i].w1 = 2 * ob[i].t + ob[i].loc;
ob[i].w2 = 2 * ob[i].t - ob[i].loc;
y[++cnt] = ob[i].w2;
}
sort(y + 1 , y + 1 + n);
cnt = unique (y + 1 , y + 1 + n) - y - 1;
for (int i = 1;i<=n;i++) ob[i].w2 = lower_bound(y+1,y+1+cnt,ob[i].w2)-y;
sort(ob + 1,ob + 1 + n);
for (int i = 1;i<=n;i++)
{
f[i] = ob[i].v + query(ob[i].w2);
answ = max(answ,f[i]);
update(ob[i].w2 , f[i]);
}
//for (int i =1;i<=n;i++)
printf("%d",answ);
return 0;
}
结语
树状数组大法好，好写又好调！！！