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CS229《机器学习》笔记 | 多元高斯分布的边缘分布和条件分布

吴恩达的《机器学习（CS229）》Lecture note 9（Part X Factor analysis）中提及了多元高斯分布的边缘分布和条件分布，指出这两者本身亦是高斯分布，但没有给出详细的证明。我自己尝试着推导，但不得要领，直到上网搜索后才恍然大悟。现将该证明过程记录于此，关键在于对协方差矩阵进行LDU分解。

边缘分布

一个多元概率分布的部分元所服从的概率分布即边缘分布，通过将剩余元求和或积分得到。比如，对于一个二元（用X，Y代表其随机变量）概率密度函数p_{X,Y}(x,y)（可理解为X∈[x, x+dx]且Y∈[y, y+dy]的概率），X所服从的边缘分布的密度函数通过将变量Y积分得到，即

p_X(x)=\int p_{X,Y}(x,y)dy                                                                                                                                  （1）

代表X∈[x, x+dx]而Y可以是任意值的概率。

条件分布

设A和B是两个事件，条件概率定义为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率

P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}                                                                                                                                            （2）

依旧以上述的二元概率密度为例，根据定义，其条件概率密度即为

p_{X|Y}(x|y)=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}                                                                                                                                    （3）

于是，上述的边缘概率密度也可进一步表示为

p_X(x)=\int p_{X,Y}(x,y)dy=\int p_{X|Y}(x|y)p_Y(y)dy                                                                                         （4）

多元高斯分布

多元高斯分布是一维情况的推广。在一维时，假设随机变量X服从高斯分布，其概率密度为

p_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right]                                                                                                                   （5）

记作X\sim N\left ( \mu,\sigma^2 \right )，其中\mu为随机变量X的期待值，\sigma^2为方差。现推广到n个随机变量\{ X_1,\ X_2,\ \cdots, X_n\}，此时，对应的密度函数指数部分为这n个变量的一个二次型（假设各随机变量的期待值均为0），即一个实系数的二次齐次函数

CS229《机器学习》笔记 | 多元高斯分布的边缘分布和条件分布_第1张图片                                                                                              （6）

更一般地，记n个随机变量的期待值为\large \{ \mu_1,\ \mu_2,\ \cdots, \mu_n\}，则对应的密度函数由上式平移得到：

f(x_1-\mu_1,x_2-\mu_2,\cdots,x_n-\mu_n)\\=a_{11}(x_1-\mu_1)^2+a_{12}(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)+\cdots+a_{1n}(x_1-\mu_1)(x_n-\mu_n) \\+a_{22}(x_2-\mu_2)^2+a_{23}(x_2-\mu_2)(x_3-\mu_3)+\cdots+a_{2n}(x_2-\mu_2)(x_n-\mu_n) \\+\cdots \\+a_{nn}(x_n-\mu_n)^2                                                （7）

写成矩阵，记\boldsymbol{X} = (X_1\ X_2\ \cdots X_n)^T，\boldsymbol{x}=\left ( x_1\ x_2\ \cdots\ x_n \right )^T，\boldsymbol{\mu}=\left ( \mu_1\ \mu_2\ \cdots\ \mu_n \right )^T，引入一个n x n的对称正定矩阵\Sigma^{-1}，并且归一化，可得到多元高斯分布密度函数的通用形式

p_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n\left | \Sigma \right |}}\exp\left[-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right]                                                                                （8）

记作\boldsymbol{X}\sim N\left ( \boldsymbol{\mu}, \Sigma\right )，其中\Sigma对应于一维中的方差\sigma^2，称为协方差矩阵。

多元高斯分布的边缘分布

现在，假设我们要求服从上述多元高斯分布的n维随机变量中的X_1所服从的边缘分布，根据定义，其概率密度通过以下积分得到

p_X_1(x_1)=\int p_{\boldsymbol{X}}(x_1, x_2,\cdots, x_n)dx_2 \cdots dx_n =\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n\left | \Sigma \right |}} \int \exp\left[-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right]dx_2 \cdots dx_n           （9）

直接积分比较繁琐，我们不妨先做一些整体的观察。首先，根据（7）式，我们发现，将除X1之外的随机变量都积分之后，得到的正是一个一维高斯分布，这当然是符合预期的，也正是将如上的多元分布称为高斯分布的原因，现在就要想办法从上式所示的积分中得到这一结果。另外，为了方便对\Sigma取逆，最好将其和一个对角矩阵联系起来。根据这些观察，我们对\Sigma进行LDU分解，即分解成下三角矩阵、对角矩阵和上三角矩阵的乘积。

不失一般性，将\Sigma写成如下的2x2分块矩阵（其中\Sigma_{11}为p x p方阵，\Sigma_{22}为q x q方阵，\Sigma_{12}为p x q矩阵，并且p+q=n）

\begin{pmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{12}^T & \Sigma_{22} \end{pmatrix}

由于\Sigma是正定的，所以其顺序主子式\left | \Sigma_{11} \right | > 0，因而\Sigma_{11}可逆。利用高斯消去法，将\Sigma化为块对角阵，用矩阵的语言表达为：

\begin{pmatrix} \Sigma_{11} & 0 \\ 0 & \Sigma_{22}-\Sigma_{12}^T\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} I_p & 0\\ -\Sigma_{12}^T\Sigma_{11}^{-1} & I_q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{12}^T & \Sigma_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_p & -\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12} \\0 & I_q \end{pmatrix}

于是有

\Sigma= \begin{pmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{12}^T & \Sigma_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} I_p &0 \\ \Sigma_{12}^{T}\Sigma_{11}^{-1} & I_q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Sigma_{11} & 0 \\ 0 & \Sigma_{22}-\Sigma_{12}^T\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_p & \Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12} \\ 0 & I_q \end{pmatrix}

其中\Sigma_{22}-\Sigma_{12}^T\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}为协方差矩阵\Sigma中\Sigma_{11} 块的Schur补，可记作\Sigma/\Sigma_{11}

取逆后便得到

\Sigma^{-1}=\begin{pmatrix} I_p & -\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12} \\ 0 & I_q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Sigma_{11}^{-1} & 0 \\ 0 & \left( \Sigma/\Sigma_{11}\right )^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ -\Sigma_{12}^{T}\Sigma_{11}^{-1} & I_q \end{pmatrix}

代入（8）式的指数部分：

(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\\=\begin{pmatrix} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1 \\ (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_2-\Sigma_{12}^{T}\Sigma_{11}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1 \end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} \Sigma_{11}^{-1} & 0 \\ 0 & \left(\Sigma/\Sigma_{11} \right )^{-1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1 \\ (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_2-\Sigma_{12}^{T}\Sigma_{11}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1 \end{pmatrix}\\ = (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1^T \Sigma_{11}^{-1} (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1\\+ \left((\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_2-\Sigma_{12}^{T}\Sigma_{11}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1\right)^T\left(\Sigma/\Sigma_{11}\right)^{-1}\left((\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_2-\Sigma_{12}^{T}\Sigma_{11}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1\right)                               （10）

其中

(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1=(x_1-\mu_1,x_2-\mu_2,\cdots,x_p-\mu_p)^T\\(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_2=(x_{p+1}-\mu_{p+1},x_{p+2}-\mu_{p+2},\cdots,x_n-\mu_n)^T

可见，原n元高斯分布密度函数可以分解成一个p元高斯分布密度函数与一个q元高斯分布密度函数之积，前者涉及原前p个随机变量，期待值不变，但协方差矩阵为\Sigma_{11}，后者涉及原后q个随机变量，协方差矩阵为\Sigma_{22}-\Sigma_{12}^T\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12}，期待值则和前p个随机变量的取值纠缠在一起。将后者积分掉之后，得到的便是前p个随机变量的边缘分布密度函数。如果所关心的p个随机变量的序号并非1\simp，则只需重新排序并对原协方差矩阵\widetilde{\Sigma}做相应的行列变换，将新得到的协方差矩阵作为\Sigma来进行如上操作。

综上，n元高斯分布N\left ( \boldsymbol{\mu}, \Sigma\right )前p个随机变量服从分布N\left(\boldsymbol\mu_1,\Sigma_{11}\right)，其中\boldsymbol{\mu}_1=\left ( \mu_1\ \mu_2\ \cdots\ \mu_p \right )^T。

多元高斯分布的条件分布

根据（3）式，我们知道（10）等式右边的第二项代表条件分布，即当\boldsymbol{X}_1=(X_1,X_2,\cdots,X_p)^T=(x_1,x_2,\cdots,x_p)^T时，\boldsymbol{X}_2=(X_{p+1},X_{p+2},\cdots,X_n)^T所服从分布的密度函数为

p_{\boldsymbol{X}_2|\boldsymbol{X}_1}(\boldsymbol{x}_2|\boldsymbol{x}_1)\\=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n-p}\left| \Sigma/\Sigma_{11}\right|}}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{\mu}_2-\Sigma_{12}^T\Sigma_{11}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1 \right )^T\left(\Sigma/\Sigma_{11} \right )^{-1}\left(\boldsymbol{x}_2-\boldsymbol{\mu}_2-\Sigma_{12}^{T}\Sigma_{11}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})_1 \right )\right ]                

即\boldsymbol{X}_2|\boldsymbol{X}_1\sim N\left(\boldsymbol{\mu_2}+\Sigma_{12}^{T}\Sigma_{11}^{-1}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu} \right )_1,\Sigma_{22}-\Sigma_{12}^T\Sigma_{11}^{-1}\Sigma_{12} \right )

 

 

 

 

 

 

参考资料：

边缘分布   https://en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution

条件分布   https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_distribution

Schur补   https://en.wikipedia.org/wiki/Schur_complement

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  • 面试111 文强chu 面试
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    1 wordpress中使用中文名注册解决办法   1)使用插件   2)修改wp源代码      进入到wp-include/formatting.php文件中找到       function sanitize_user( $username, $strict = false
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    项目管理的下午题，其实就在提出问题（挑刺），分析问题，解决问题。 今天我随意看下10年上半年的第一题。主要就是项目经理的提拨和培养。 结合我自己经历写下心得 对于公司选拔和培养项目经理的制度有什么毛病呢？ 1，公司考察，选拔项目经理，只关注技术能力，而很少或没有关注管理方面的经验，能力。 2，公司对项目经理缺乏必要的项目管理知识和技能方面的培训。 3，公司对项目经理的工作缺乏进行指
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     //文件处理  在处理文件输入输出时要引入java.IO这个包； /* 1，运用File类对文件目录和属性进行操作 2，理解流，理解输入输出流的概念 3，使用字节/符流对文件进行读/写操作 4，了解标准的I/O 5，了解对象序列化 */   //1，运用File类对文件目录和属性进行操作   //在工程中线创建一个text.txt
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            getElementById是通过Id来设置/返回HTML标签的属性及调用其事件与方法。用这个方法基本上可以控制页面所有标签，条件很简单，就是给每个标签分配一个ID号。        返回具有指定ID属性值的第一个对象的一个引用。        语法： &n
  • 励志经典语录 bijian1013 励志人生
    经典语录1:   哈佛有一个著名的理论：人的差别在于业余时间，而一个人的命运决定于晚上8点到10点之间。每晚抽出2个小时的时间用来阅读、进修、思考或参加有意的演讲、讨论，你会发现，你的人生正在发生改变，坚持数年之后，成功会向你招手。不要每天抱着QQ/MSN/游戏/电影/肥皂剧……奋斗到12点都舍不得休息，看就看一些励志的影视或者文章，不要当作消遣；学会思考人生，学会感悟人生
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    今天在写一个flash广告代码的时候，因为flash自带的链接，容易被当成弹出广告，所以做了一个div层放到flash上面，这样链接都是a触发的不会被拦截，但发现flash一直处于div层上面，原来flash需要加个参数才可以。 让flash置于DIV层之下的方法，让flash不挡住飘浮层或下拉菜单，让Flash不档住浮动对象或层的关键参数：wmode=opaque。 方法如下：
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    Mybatis作为一个非常好用的持久层框架，相关资料真的是少得可怜，所幸的是官方文档还算详细。本博文主要列举一些个人感觉比较常用的场景及相应的Mapper SQL写法，希望能够对大家有所帮助。 不少持久层框架对动态SQL的支持不足，在SQL需要动态拼接时非常苦恼，而Mybatis很好地解决了这个问题，算是框架的一大亮点。对于常见的场景，例如：批量插入/更新/删除，模糊查询，多条件查询，联表查询，
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