斐波拉契数列-矩阵快速幂算法

参考学习:

https://blog.csdn.net/acecandy/article/details/83864763

斐波拉契数列 矩阵快速幂

题目描述

PIPI今天刚刚学习了斐波拉契数列:
F(0) = 1
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>1)
现在PIPI想知道斐波拉契数列的第 k 项，胖虎能够告诉PIPI吗?
由于结果很大，输出F(k)对p取模的结果即可~
p = 109+7

输入

输入包含多组测试用例。
每组测试用例包含一个正整数 k (1<=k<=1010)

输出

对于每组样例，输出F(k)%p

样例输入

1
2
3
4
5

样例输出

1
2
3
5
8

 

默认初始矩阵单位阵:

   

1次幂矩阵:

通过计算幂矩阵的n-1次，从而得出fn的值。

求这种问题，当然不是一直for循环乘上去这么蠢的方法。
假如我们需要求，可以把63分解为32+16+8+4+2+1。
for累加需要计算62次乘法，而2进制分解只要6次乘法，5次加法。
不管指数是多少，都可以将其分解为 2 的倍数的和。因为任何整数都能够写成 2 进制的形式，2进制可以表示任何一个整数。这就是关于求次方的快速幂算法。

如15 = 1111（2），求。  sum =1, an=m; 记x=15

第一步，1111&1 =1（真，按位与） sum=sum*an=m， 1111>>1(左移1位，除2)，an = m*m;   x=111(2) =7

第二步，111&1 =1， sum=sum*an = , 111>>1, an =, x=11(2) =3

第三步，11&1=1，sum =sum*an = , 11>>1,an =,x=1(2)=1

第三步，1&1=1，sum = sum*an = ,1>>1,x=0，退出循环。即求出。

参考代码如下:

#include
#include
using namespace std;
#define p 1000000007

int main(){
	long long  k;
	while(scanf("%d",&k)!=EOF){
		if(k==0 || k==1)
		{
			printf("1\n");	
			continue;
		}
		long long mar[2][2] ={1,1,1,0};  //1次幂 
		long long res[2][2] ={1,0,0,1}; //单位阵 
        k = k-1;
		while(k>0){
			if(k&1){
				long long temp[2][2];
				temp[0][0] = (res[0][0]*mar[0][0] +res[0][1] *mar[1][0])%p;
				temp[0][1] = (res[0][0]*mar[0][1] +res[0][1] *mar[1][1])%p;
				temp[1][0] = (res[1][0]*mar[0][0] +res[1][1] *mar[1][0])%p;
				temp[1][1] = (res[1][0]*mar[0][1] +res[1][1] *mar[1][1])%p;
				memcpy(res,temp,sizeof(temp));
			}
			k = k>>1;
			long long temp[2][2]; 
			temp[0][0] = (mar[0][0]*mar[0][0] +mar[0][1] *mar[1][0])%p;
			temp[0][1] = (mar[0][0]*mar[0][1] +mar[0][1] *mar[1][1])%p;
			temp[1][0] = (mar[1][0]*mar[0][0] +mar[1][1] *mar[1][0])%p;
			temp[1][1] = (mar[1][0]*mar[0][1] +mar[1][1] *mar[1][1])%p;
			memcpy(mar,temp,sizeof(temp));	
		}
		long long sum;
		sum = res[0][0] + res[0][1];
		printf("%lld\n",sum%p);
	} 
	
	return 0;
}