一维卷积积分学习实例

本文主要参考内容为奥本海姆《信号与系统》2.2节连续时间线性时不变系统卷积积分，若有不正确的地方，敬请指正。

例 假设某一线性时不变系统的输入为 x(t) ，其单位冲激响应为 h(t) ，其中

x(t)=e−atu(t),     a>0,h(t)=u(t)

u(t) 特指连续时间单位阶跃函数

相关函数示意图如下图所示：

上图分别画出了 h(τ) 、 x(τ) 以及对应于某个正值 t 和负值 t 的 h(t−τ) 的函数图像。从图中可以看出，由于 t<0 时， x(τ) 与 h(t−τ) 的乘积为0，所以卷积 y(t)=0 ；而对于 t>0 ，则有

x(τ)h(t−τ)={e−aτ,    0<τ<t0,    others

注意：卷积公式为 y(t)=∫+∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ ，关于对卷积的理解可以参考知乎上的讨论：https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/34267457

刚刚提及，当 t<0 时， x(τ) 与 h(t−τ) 的乘积为0，在此进行解释：

x(τ)h(t−τ)=e−aτu(τ)h(t−τ)=e−aτu(τ)u(t−τ)

当 t<0 时，不论 τ 取何值，都有 u(τ)u(t−τ)=0 ，因此上式为0，从而定积分 y(t) 也等于0.

现在计算 t>0 时的卷积积分，有

y(t)=∫t0x(τ)h(t−τ)dτ=∫t0e−aτu(τ)u(t−τ)dτ

观察 u(t) 的函数图像可知，当 t>0 且 0<τ<t 的条件下，始终有 u(τ)u(t−τ)=1 ，这样有

y(t)=∫t0e−aτdτ =−1ae−aτ∣∣∣t0=1a(1−e−aτ)

对于所有的 t ，将表达式统一起来，得出最终表达式

y(t)=1a(1−e−aτ)u(t)

之所以末尾需要加一个 u(t) ，是因为当 t<0 时，可以让 y(t) 为0.