最小树形图——朱刘算法

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最近想找最小生成树的题做，奈何难度有限，点进的蓝题紫题都和“生成树”么得什么关系……于是就莫名找到了一道最小树形图的题，然后当然不会辣……

瞎学了一下，还是啥都不会，但毕竟咱们有时间，磨了一会儿总算是懂了一点……

进入正题好了……

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定义

说实话我到现在都不是很懂定义……

大概就是给定一张有向图，指定根节点$root$，求出一棵有向树，使选出的边的权值和最小

首先肯定是要把所有点都选上的……不然这题目还有什么意义……

然后是有向树……说明根节点的入度肯定是$0$，其他店的入度最多为$1$，出度都无所谓，这点很明显

然后就是怎么求了……

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朱-刘算法

姑且不要吐槽这个名字了……虽然有点奇怪

朱刘算法的核心是啥呢？又是贪心哦……

（为什么要说“又”呢？因为之前写的$EK$也是贪心……）

首先根据定义我们可以发现，每个非根节点的入度最多且必定为$1$，那么我们就对每条边的终点贪心地选择权值最小的一条边

此时，选出来的一些边并不一定会是一棵树，不过可能会有环的出现，所以我们把这些环缩点（这里不用$Tarjan$，根据选中边从终点向起点就行），然后重复这个过程

不过要注意的是，我们在找环之前是会加上连向该点的边的权值的，如果要把连向该点的边换一条的话，需要加上的就不是这另一条边的权值，而是另一条边的权值减去原本的边的权值，这样不方便计算，所以我们先把边的权值减去原本的边的权值就行

这样说可能很混乱……代码见吧……

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$$\text{朱-刘算法求最小树形图模板}$$

bool ZhuLiu()
{
	while(1)
	{
		tot=0;//缩点后重置
		memset(bel,0,sizeof(bel));
		memset(f,0,sizeof(f));
		memset(minx,60,sizeof(minx));
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int u=e[i].u,v=e[i].v;
			if(u^v && minx[v]>e[i].dis)//对每条边的终点选一条连向它的权值最小的边
			{
				minx[v]=e[i].dis;
				faz[v]=u;//记录到终点的边的起点
			}
		}
		minx[rt]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)//枚举每个点，缩点
		{
			int u;
			if(minx[i]==inf) return 0;//如果没有连向它的边就跳过
			ans+=minx[i];//加上答案
			for(u=i;u!=rt && f[u]!=i && !bel[u];u=faz[u]) f[u]=i;
        //此处的f数组存储的是每个缩过的环内的“标志节点”，类似并查集，但在模板题只是提供了是否被查询过的信息
			if(u!=rt && !bel[u])//如果有环把环内每个点标上号
			{
				bel[u]=++tot;
				for(int v=faz[u];v!=u;v=faz[v]) bel[v]=tot;
			}
		}
		if(!tot) return 1;//没有的话代表是一颗树了，退出即可
		for(int i=1;i<=n;i++) if(!bel[i]) bel[i]=++tot;//把剩下的一些节点也缩了
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int w=minx[e[i].v];
			e[i].u=bel[e[i].u];
			e[i].v=bel[e[i].v];
			int u=e[i].u,v=e[i].v;
			if(u!=v) e[i].dis-=w;//把每条可能被选择的边减去当前选的最短边权值，等下如果要选择直接加上权值就行了
		}
		n=tot;
		rt=bel[rt];
	}
}

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写的很渣，欢迎找$Bug$

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$Fin.$