素筛讲解及模板（线性筛）

本文链接：http://blog.csdn.net/sjf0115/article/details/8693756

<1>方法一

 //判断是否是一个素数
 int IsPrime(int a){
     //0,1，负数都是非素数
     if(a <= 1){
         return 0;
     }
     //计算枚举上界，为防止double值带来的精度损失，所以采用根号值取整后再加1，即宁愿多枚举一个，也不愿少枚举一个数
     int bound = (int)sqrt(a) + 1;
     for(int i = 2;i < bound;i++){
         //依次枚举这些数能否整除x，若能则必不是素数
         if(a % i == 0){
             return 0;
         }
     }
     return 1;
 }

<2>方法二

 #define MAXSIZE 10001

 int Mark[MAXSIZE];
 int prime[MAXSIZE];

 //判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数
 int Prime(){
     int index = 0;
     memset(Mark,0,sizeof(Mark));
     for(int i = 0;i < MAXSIZE;i++){
         //已被标记
         if(Mark[i] == 1){
             continue;
         }
         else{
             //否则得到一个素数
             prime[index++] = i;
             //标记该素数的倍数为非素数
             for(int j = i*i;j < MAXSIZE;j += i){
                 Mark[j] = 1;
             }
         }
     }
     return index;
 }

<3>方法三

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数

把这些合数都筛掉，即算法名字的由来。但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。

比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

 int Mark[MAXSIZE];
 int prime[MAXSIZE];

 //判断是否是一个素数  Mark 标记数组 index 素数个数
 int Prime(){
     int index = 0;
     memset(Mark,0,sizeof(Mark));
     for(int i = 2; i < MAXSIZE; i++)
     {
         //如果未标记则得到一个素数
         if(Mark[i] == 0){
             prime[index++] = i;
         }
         //标记目前得到的素数的i倍为非素数
         for(int j = 0; j < index && prime[j] * i < MAXSIZE; j++)
         {
             Mark[i * prime[j]] = 1;
             if(i % prime[j] == 0){
                 break;
             }
         }
     }
     return index;
 }

利用了每个合数必有一个最小素因子。每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。
代码中体现在：
if(i%prime[j]==0)break;
prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prme[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,pr[j]必定是pr[j]*i的最小因子